Свойства устойчивости субгармонических решений в рассматриваемом здесь автономном случае те же самые, что и в случае нетривиальных $T$-периодических задач. Когда $n=1$ и $n=2$, субгармонические бифуркационные решения неустойчивы, а суперкритические решения устойчивы, если $|\alpha|$ мало. 6л-периодическое ( $n=3$ )решение локально неустойчиво по обе стороны от критической точки, а различные возможные исходы, которые обсуждались в § IX.16, имеют место также и здесь. Доказательства этих результатов несколько более сложны, чем соответствующие доказательства, приведенные в гл. IX. Однако все эти результаты доказаны Ж. Йоссом при более общих предположениях относительно отображений (G. Jooss, Bifurcation of Maps and Applications, Amsterdam: North-Holland, 1979). Здесь мы укажем, как эти результаты можно получить на основе непосредственного анализа устойчивости, аналогично анализу, приведенному в гл. IX.

Пусть $\varphi(t)$ – произвольное малое возмущение решения $\overline{\bar{\psi}}(s, \alpha)$. Тогда $\mathbf{V}=\psi(s, \alpha)+\varphi(t), s=\Omega(\alpha) t$ удовлетворяет уравнению (XI.2), а линеаризированное уравнение для возмущения $\varphi(t)$ имеет вид
\[
\frac{d \varphi}{d t}=\mathbf{F}_{v}(\mu, \boldsymbol{\Psi} \mid \varphi), \quad \mu=\mu(\alpha) .
\]

Так как $\boldsymbol{\psi}(s, \alpha) \in \mathbb{P}_{2 \text { ли }}$, то для исследования устойчивости можно использовать теорию Флоке для построения спектральной задачи. Полагая
\[
\boldsymbol{\varphi}=e^{v t \tilde{\zeta}}(s), \quad \tilde{\zeta}(\cdot) \in \mathbb{P}_{2 \pi n},
\]

находим, что
\[
v \tilde{\zeta}=-\Omega \frac{d \tilde{\zeta}}{d s}+\mathbf{F}_{v}(\mu, \psi \mid \tilde{\zeta})=\stackrel{\text { def }}{=} \tilde{\zeta},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
J(\alpha)=-\Omega(\alpha) \frac{d}{d s}+\mathbf{F}_{v}(\mu(\alpha), \Psi(s, \alpha \mid \cdot), \\
\operatorname{dom} \mathfrak{J}(\alpha)=\mathbb{P}_{2 \pi n},
\end{array}
\]

и, так как $(\Omega(\alpha), \Psi(s, \alpha), \mu(\alpha))=\left(\omega_{0}, \mathrm{U}_{0}(s), \mu_{0}\right)$ при $\alpha=0$, то
\[
j(0)=J \text {. }
\]

Нас интересуют возмущенные собственные значения, такие, что
\[
v(0)=0 .
\]

Заметим, что $\dot{\psi}(s, \alpha)$ является нуль-вектором (собственный вектор с нулевым собственным значением) оператора $\mathfrak{I}$ для всех $\alpha$ :
\[
\delta(\alpha) \dot{\psi}=0 \text {. }
\]

Для решения задачи (XI.104) (нахождения $\bar{\zeta}$ и v) используем теорию возмущений. Собственную функцию $\tilde{\zeta}(s, \alpha)$ можно разложить на часть $\dot{\psi}(s, \alpha)$, принадлежащую нуль-пространству оператора $j(\alpha)$ и нейтральную в смысле устойчивости, и другую часть $\zeta(s, \alpha)$, которая определяет собственное значение $v(\alpha)$, зависящее от $\alpha$ и определяющее характер устойчивости:
\[
\tilde{\xi}(s, \alpha)=C(\alpha)\left\{\xi(s, \alpha)+\frac{\tau(\alpha)}{v(\alpha)} \dot{\psi}(s, \alpha)\right\} .
\]

Разложение (X1.106) не является единственным, так как, во-первых, пока не требуется, чтобы $\zeta(s, \alpha)$ не содержала части, пропорциональной $\dot{\psi}(s, \alpha)$, и, во-вторых, $C(\alpha)$ и $\tau(\alpha)$-произвольные функции. Чтобы более точно конкретизировать это разложение, потребуем, чтобы вектор
\[
\zeta(s, 0) \stackrel{\text { det }}{=} \zeta_{0}(s)
\]

не содержал части, пропорциональной
\[
\dot{\psi}(s, 0)=\mathbf{U}_{0}(s)=\mathbf{Z}_{0} .
\]

Это требование можно выразить в виде условия
\[
\left[\zeta, \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=0 .
\]

Разложение (XI.106) можно полностью конкретизировать, если, в дополнение к (XI.107), ввести другое условие, определяющее амплитуду вектор-функции $\zeta(s, \alpha)$. Тогда $v(\alpha)$ и $\tau(\alpha)$ можно найти методом возмущений. Так как $\bar{\zeta}(s, \alpha)$ удовлетворяет линейному уравнению, то нормирующая функция $C(\alpha)$ остается неопределенной и может быть выбрана произвольно.

Уравнение для определения $\zeta$ найдем в результате подстановки (XI.106) в (XI.104):
\[
\tau \dot{\psi}+v \xi=j \xi, \quad \zeta(\cdot, \alpha) \in \mathbb{P}_{2 \pi n} .
\]

Если $\alpha=0$, то (XI.104) приводится к виду
\[
\Omega \tilde{\zeta}_{0}=0 .
\]

Тогда (XI.108) принимает вид
\[
\tau_{0} \dot{\mathbf{U}}_{0}=\sqrt{ } \boldsymbol{\zeta}_{0} .
\]

Результаты первых двух дифференцирований уравнения (XI.108) по $\alpha$ при $\alpha=0$ приводят к уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\tau^{(1)} \dot{\mathbf{U}}_{0}+\tau_{0} \dot{\psi}^{(1)}+v^{(1)} \xi_{0}=J \xi^{(1)}+j^{(1)} \xi_{0}, \\
\tau^{(2)} \dot{\mathbf{U}}_{0}+2 \tau^{(1)} \dot{\psi}^{(1)}+\tau_{0} \dot{\psi}^{(2)}+v^{(2)} \xi_{0}+2 v^{(1)} \xi^{(1)}= \\
=\sqrt{ } \xi^{(2)}+2 j{ }^{(1)} \xi^{(1)}+\mathfrak{J}^{(2)} \xi_{0},
\end{array}
\]

где $\zeta^{(1)}(\cdot), \zeta^{(2)}(\cdot) \in \mathbb{P}_{2 \pi n}$,
\[
\mathfrak{g}^{(1)}(\cdot)=-\Omega^{(1)} \frac{d(\cdot)}{d s}+\mu^{(1)} \mathbf{F}_{\mu v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \cdot\right)+\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\psi}^{(1)}\right| \cdot\right),
\]
a
\[
\begin{array}{l}
f(2)(\cdot)=\Omega^{(2)} \frac{d(\cdot)}{d s}+\mu^{(2)} \mathbf{F}_{\mu v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \cdot\right)+\left(\mu^{(1)}\right)^{2} \mathbf{F}_{\mu \mu v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \cdot\right)+ \\
+2 \mu^{(1)} \mathbf{F}_{\mu v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\psi^{(1)}\right| \cdot\right)+\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\psi^{(2)}\right| \cdot\right)+ \\
\quad+\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\psi^{(1)}\right| \psi^{(1)} \mid \cdot\right) .
\end{array}
\]

Напомним, что $\dot{\mathbf{U}}_{0}(\cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{Z}_{0}$, а $\left[\mathbf{Z}_{0}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=0$.
Рассмотрим задачу об устойчивости, когда $n=2$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\mu^{(1)}=0, \quad \Omega^{(1)}=\omega^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\omega}_{1}=0, \quad \mathbf{U}^{(1)}(s)=\mu^{(1)} \hat{\mathbf{U}}_{1}(s)=0, \\
\boldsymbol{\psi}_{1}(s)=-\mathbf{Y}^{(1)}(s)=-\mathbf{Z}_{1}(s), \Omega^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\omega}_{1}+\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi}, \\
\mathbf{U}^{(2)}(s)=\mu^{(2)} \hat{\mathbf{U}}_{1}(s), \quad \tau_{0}=0 .
\end{array}
\]

Условие (XI.107) вместе с условием нормировки $\left[\zeta_{0}, Z_{1}^{*}\right]=1$ дают
\[
\zeta_{0}(s)=\mathbf{Z}_{1}(s) \text { и } \mathfrak{j}^{(1)} \xi_{0}=-F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right) .
\]

Уравнение (XI.109) $)_{2}$ разрешимо, если $\left[\sqrt{ } \zeta^{(1)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=\left[\sqrt{ } \zeta^{(1)}, \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi}=0$. Первое из этих условий дает (см. уравнение, приведенное после (XI.64) $)_{2}$.
\[
v^{(1)}=-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi}=0,
\]

а второе приводит к уравнению
\[
\tau^{(1)}=-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi}=\omega^{(2)}-\Omega^{(2)} .
\]

Тогда уравнение (XI.109) м $_{2}$ можно преобразовать к виду
\[
\text { Jร }{ }^{(1)}=\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right)-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi} \mathbf{Z}_{0} .
\]

Сравнивая (XI.110) с (XI.67) $)_{2}$, заключаем, что
\[
\zeta^{(1)}=\mathbf{Y}^{(2)} .
\]

Теперь можно переписать уравнение (XI.109), используя соотношения, которые были указаны в предыдущем абзаце:
\[
\begin{array}{l}
\tau^{(\boldsymbol{z})} \mathbf{Z}_{0}+3\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 i} \dot{\mathbf{Z}}_{1}+v^{(2)} \mathbf{Z}_{1}= \\
=\sqrt{ } \boldsymbol{\zeta}^{(2)}-3 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Y}^{(2)}\right)+\mu^{(2)}\left\{\mathcal{y} \mathbf{Z}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\mathbf{Z}}_{1}\right\}+ \\
+\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1} \mid \mathbf{Z}_{1}\right)
\end{array}
\]

Проектируя (XI.112) на $\mathbf{Z}_{1}^{*}$ и сравнивая получаемый результат c (XI.72), находим, что
\[
v^{(2)}=-2 \mu^{(2)} \xi_{1}, \quad v(\alpha)=-\mu^{(2)} \xi_{1} \alpha^{2}+O\left(\alpha^{4}\right) .
\]

У равнение (XI.II3) показывает, что субкритические решения неустойчивы, а суперкритические решения устойчивы, если $\alpha$ мало. Проектируя уравнение (XI.112) на $\mathbf{Z}_{0}^{*}$, после небольших вычислений, подобных тем, которые привели к уравнению (XI.73), находим, что $\tau^{(2)}=0$.

Переходя теперь к субгармонической бифуркации с $n=3$, отметим, что
\[
\begin{array}{c}
\Omega^{(1)}=\omega^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\omega}, \quad \mathbf{U}^{(1)}(s)=\mu^{(1)} \hat{\mathbf{U}}_{1}(s), \\
\boldsymbol{\psi}^{(1)}(s)=\mu^{(1)} \hat{\mathbf{U}}_{1}(s)-\mathbf{Y}^{(1)}, \quad \mathbf{Y}^{(1)}=\mathrm{e}^{i \varphi_{0}} \mathbf{Z}_{1}+e^{-i \varphi_{0}} \overline{\mathbf{Z}}_{1}, \\
\mathbf{Z}_{1}=e^{i(m / 3) s} \boldsymbol{\Gamma}_{0}(s), \quad \boldsymbol{\Gamma}_{0}(s) \in \mathbb{P}_{2 \pi}, m=1 \text { или } 2 \text { а а } \boldsymbol{\tau}_{0}=0 .
\end{array}
\]

Вектор $\zeta_{0}$ является линейной комбинацией независимых нульвекторов оператора $\S$, а из условия (XI.107) следует, что существуют комплексные постоянные $C_{0}$ и $C_{1}$, такие, что
\[
\boldsymbol{\zeta}_{0}=C_{0} \mathbf{Z}_{1}+C_{1} \overline{\mathbf{z}}_{1} \text {. }
\]

Уравнение (XI.109), можно упростить, используя приведенные выше соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\tau^{(1)} \mathbf{Z}_{0}+v^{(1)} C_{0} \mathbf{Z}_{1}+v^{(1)} C_{1} \overline{\mathbf{Z}}_{1}= \\
=\sqrt{ } \boldsymbol{\zeta}^{(1)}+C_{0} \mu^{(1)}\left\{\boldsymbol{y} \mathbf{Z}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\mathbf{Z}}_{1}\right\}+C_{1}\left\{\boldsymbol{y} \overline{\mathbf{Z}}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\overline{\mathbf{Z}}}_{1}\right\}- \\
\quad-C_{0} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|e^{i \varphi_{0}} \mathbf{Z}_{1}+e^{-i \varphi_{0}} \overline{\mathbf{Z}}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right)- \\
\quad-C_{1} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|e^{i \varphi_{0}} \mathbf{Z}_{1}+e^{-i \varphi_{0}} \overline{\mathbf{Z}}_{1}\right| \overline{\mathbf{Z}}_{1}\right)
\end{array}
\]

Проектируя это уравнение сначала на $\mathbf{Z}_{i}^{*}$, а затем на $\overline{\mathbf{Z}}_{i}^{*}$, находим, используя (XI.19) и (XI.79), что
\[
\begin{array}{l}
v^{(1)} C_{0}=C_{0} \mu^{(1)}\left(\gamma_{1}-\frac{i m}{3} \hat{\omega}_{1}\right)-C_{1} \lambda_{1} e^{-i \varphi_{0}}, \\
v^{(1)} C_{1}=C_{1} \mu^{(1)}\left(\bar{\gamma}_{1}+\frac{i m}{3} \hat{\omega}_{1}\right)-C_{0} \bar{\gamma}_{1} e^{i \varphi_{0}} .
\end{array}
\]

Поэтому $\boldsymbol{v}_{1}^{(1)}$ и $\boldsymbol{v}_{2}^{(1)}$ являются собственными значениями матрицы
\[
\tilde{\mathbf{m}}=\left[\begin{array}{cc}
\mu^{(1)}\left(\gamma_{1}-\frac{i m}{3} \hat{\omega}_{1}\right) & -\lambda_{1} e^{-i \varphi_{0}} \\
-\bar{\lambda}_{1} e^{i \varphi_{0}} & \mu^{(1)}\left(\bar{\gamma}_{1}+\frac{i m}{3} \hat{\omega}_{1}\right)
\end{array}\right],
\]

где $\mu^{(1)}$ определяется из уравнения (XI.79),
\[
2 \mu^{(1)}\left(\gamma_{1}-\frac{i m}{3} \hat{\omega}_{1}\right)=\lambda_{1} e^{-3 i \varphi_{0}},
\]

с тем же (заданным там) значением $\lambda_{1}$. Анализ устойчивости в точности совпадает с анализом в нетривиальном случае, изученном

в $\$$ IX. 14 (см. (IX.74)):
\[
v_{1}^{(1)}+v_{2}^{(1)}=\operatorname{tr} \tilde{\mathbf{m}}=2 \mu^{(1)} \xi_{1}>0,
\]

так как
\[
\begin{array}{c}
\mu^{(1)}=\frac{(1 / 2)\left|\lambda_{1}\right|}{\gamma_{1}-(i m / 3) \hat{\omega}_{1}}, \quad \xi_{1}>0, \\
v_{1}^{(1)} v_{2}^{(1)}=\left(\mu^{(1)}\right)^{2}\left|\gamma_{1}-\frac{i m}{3} \hat{\omega}_{1}\right|^{2}-\left|\lambda_{1}\right|^{2}=-3\left(\mu^{(1)}\right)^{2}\left|\gamma_{1}-\frac{i m}{3} \hat{\omega}_{1}\right|^{2}<0
\end{array}
\]

и одно из собственных значений матрицы $\tilde{\mathrm{m}}$ положительно, а другое отрицательно. Отсюда следует, что одно из двух собственных значений
\[
\left[\begin{array}{l}
v_{1}(\varepsilon) \\
v_{2}(\varepsilon)
\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}
v_{1}^{(1)} \\
v_{2}^{(1)}
\end{array}\right]+O\left(\alpha^{2}\right)
\]

положительно с каждой стороны от критической точки. Поэтому бл-периодическое (по $s$ ) бифуркационное решение неустойчиво одновременно для положительных и отрицательных значений $\alpha$, если $|\alpha|$ мало.

Оставляем доказательство других результатов, относящихся к анализу устойчивости и сформулированных в § XI.14, в качестве необходимого упражнения, которое будет служить проверкой правильности понимания излагаемой теории прилежными студентами.