Можно построить периодическое по времени решение, которое ответвляется от решения $\mathrm{u}=0$ в критической точке $(\mu=0)$, в виде рядов по степеням некоторой амплитуды $\varepsilon$, как в (VII.44). В этом построении коэффициенты рядов можно было бы вычислить как решения дифференциальных уравнений, которые получаются в результате подстановки этих рядов в (VIII.10) и (VIII.11) и приравнивания в получаемых уравнениях членов при одинаковых степенях \&. В этом случае стратегия ${ }^{1}$ ) заключается в проектировании (получении уравнений (VIII.10) и (VIII.11)) и последующем разложении. Альтернативная стратегия-разложение и последующее проектирование, —излагаемая ниже, является более определенной и простой для реализации.

В этих построениях вычисляются величины, связанные со спектральными задачами (VIII.2) и (VIII.3) при $\mu=0$ :
\[
\left[\varepsilon, \mu, \xi(\mu), \eta(\mu), \sigma(\mu), \zeta(\mu), \zeta^{*}(\mu)\right] \rightarrow\left[0,0,0, \omega_{0}, i \omega_{0}, \zeta_{0}, \zeta_{0}^{*}\right] .
\]

Мы предполагаем, что $\pm i \omega_{0}$ представляют собой простые изолированные собственные значения оператора $\mathrm{f}_{u}(0 \mid \cdot)$, т. е. $i \omega_{0} \xi_{0}=$ $=\mathrm{f}_{u}\left(0 \mid \zeta_{0}\right),-i \omega_{0} \bar{\zeta}_{0}=\mathrm{f}_{u}\left(0 \mid \bar{\zeta}_{0}\right)$, и что все другие собственные значения $\mathrm{f}_{a}(0 \mid \cdot)$ имеют отрицательные вещественные части. Предполагается также, что потеря устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ строгая, если $\boldsymbol{\varepsilon}_{\mu}(0)>0$. Замечая теперь, что уравнение, получаемое в результате однократного дифференцирования по $\mu$ соотношения (VIII.2) при $\mu=0$ :
\[
\sigma_{\mu}(0) \zeta_{0}+i \omega_{0} \zeta_{\mu}=\mathrm{f}_{u}\left(0 \mid \zeta_{\mu}\right)+\mathrm{f}_{u \mu}\left(0 \mid \zeta_{0}\right),
\]
1) Она разработана для дифференциальных уравнений с частными производными в статье Ж. Йoca Existence et stabilité de la solution périodique secondaire intervenant dans les problèmes d’évolution du type Navier-Stokes. Arch. Rational. Mech. Anal., 47, 301-329 (1972).

разрешимо тогда и только тогда, когда
\[
\sigma_{\mu}(0)=\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \zeta_{0}\right), \zeta_{0}^{*}\right\rangle,
\]

из нашего предположения о строгой потере устойчивости следует, что вещественная часть (VIII.14) положительна.

Переходим к построению периодического решения, которое ответвляется от решения $\mathbf{u}=0$ в критической точке. Существуют два периодических решения линеаризованной задачи $\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{f}_{a}(0 \mid \mathbf{v})$ в критической точке: $\mathbf{v}(t)=e^{i \omega_{0} t} \xi_{0}$ и $\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)$. Обозначим $\omega_{0} t=s$ и положим $\mathbf{z}(s)=e^{i s \xi_{0}}=\mathbf{v}\left(s / \omega_{0}\right)$. Теперь введем пространство $2 \pi$-периодических функций ${ }^{1}$ ). Обозначим это пространство 2л-периодических функций символом $\mathbb{P}_{2 \pi}$. Тогда $\mathbf{z}$ и $\bar{z}$ принадлежат $\mathbb{P}_{2 \pi}$. Определим также скалярное произведение в $\mathbb{P}_{2 \pi}$
\[
[\mathbf{a}, \mathbf{b}]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\langle\mathbf{a}(s), \mathbf{b}(s)\rangle d s
\]

и оператор
\[
\mathfrak{J}_{0}=-\omega_{0} \frac{d}{d s}+\mathbf{f}_{u}(0 \mid \cdot),
\]

в нуль-пространстве которого лежат $\mathbf{z}=e^{i s{ }_{5}^{\circ}}$ и $\overline{\mathbf{z}} \in \mathbb{P}_{2 \pi}$ :

Определим сопряженный оператор $\mathfrak{3}_{0}^{*}$, действующий на произвольные поля $\mathbf{a}(s), \mathbf{b}(s) \in \mathbb{P}_{2 \pi}$,

и найдем, что
\[
\mathfrak{J}_{0}^{*}=\omega_{0} \frac{d}{d s}+\mathbf{A}^{*}(0),
\]

где оператор $\mathbf{A}^{*}(0)$ определен формулой (VI.48) и
\[
\mathfrak{S}_{0}^{*} \mathbf{z}^{*}=\mathfrak{J}_{0}^{*} \mathbf{z}^{*}=0,
\]

где
\[
\mathrm{z}^{*}=e^{i s_{60}^{s *}} \in \mathbb{P}_{2 \pi}
\]
( $\zeta_{0}^{*}$ есть решение задачи (VIII.2)). Можно представить (VII.14) в виде
\[
\begin{aligned}
\sigma_{\mu}(0) & =\left\langle\mathbf{f}_{t \mu}\left(0 \mid \zeta_{0} e^{i s}\right) e^{-i s}, \zeta_{0}^{*}\right\rangle= \\
& =\left\langle\mathbf{f}_{t \mu}(0 \mid \mathbf{z}), \mathbf{z}^{*}\right\rangle=\left[\mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \mathbf{z}), \mathbf{z}^{*}\right] .
\end{aligned}
\]
${ }^{1}$ ) Естественно, мы предполагаем, что функции, принадлежацие $\mathbb{P}_{2 \pi}$, обладают гладкостью, требуемой для наших вычислений. Точная степень гладкости указана в работах, цитируемых в этой главе, и здесь не отмечается.

Теперь мы готовы к построению периодических бифуркационных решений уравнения $\dot{\mathbf{u}}=f(\mu, \mathbf{u})$ в виде рядов по степеням амплитуды
\[
\varepsilon=\left[\mathbf{u}, \mathbf{z}^{*}\right] \text {. }
\]

Возможны различные определения амплитуды. Например, можно положить $\varepsilon^{n}=f[\mathbf{u}]$, где $f[\mathbf{u}]$ есть однородный функционал с показателем однородности $n$, так что если $\mathbf{u}=\varepsilon \mathbf{v}$, то $1=f$ [v]. Обычно лучше выбрать такую амплитуду, которая отражает физический смысл задачи. Например, в нелинейных задачах о переносе тепла при заданной на границе температуре удобно было бы определить $\varepsilon$ через суммарный тепловой поток.
Мы ищем $2 \pi$-периодические по $s=\omega(\varepsilon) t$ решения в форме
\[
\mathbf{u}(s, \varepsilon)=\mathbf{u}(s+2 \pi, \varepsilon), \quad \mu(\varepsilon), \quad \omega(\varepsilon),
\]

где
\[
\mathbf{u}(s, 0)=0, \quad \mu(0)=0, \quad \omega(0)=\omega_{0}
\]

и
\[
\omega(\varepsilon) \frac{d \mathbf{u}}{d s}=f(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}) .
\]

Это решение можно найти в виде степенных рядов, используя альтернативу Фредгольма:
\[
\left[\begin{array}{c}
\mathbf{u}(s, \varepsilon) \\
\mu(\varepsilon) \\
\omega(\varepsilon)-\omega_{0}
\end{array}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !}\left[\begin{array}{c}
\mathbf{u}_{n}(s) \\
\mu_{n} \\
\omega_{n}
\end{array}\right] .
\]

Подставляя (VIII.24) в (VIII.23) и (VIII.22), находим уравнения для определения коэффициентов правой части (VIII.24). Для того чтобы сохранить определение (VIII.22) амплитуды $\varepsilon$, мы должны иметь
\[
\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{z}^{*}\right]-1=\left[\mathbf{u}_{n}, \mathbf{z}^{*}\right]=0, \quad n \geqslant 2 .
\]

Уравнение (VIII.23) будет удовлетворено, если
\[
\begin{array}{c}
\mathfrak{J}_{0} \mathbf{u}_{1}=0 \\
\mathfrak{J}_{0} \mathbf{u}_{2}-2 \omega_{1} \frac{d \mathbf{u}_{1}}{d s}+2 \mu_{1} \mathbf{f}_{t u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{f}_{t u}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)=0 \\
\mathfrak{J}_{0} \mathbf{u}_{3}-3 \omega_{1} \frac{d \mathbf{u}_{2}}{d s}+3 \mu_{1} \mathbf{f}_{t u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)-3 \omega_{2} \frac{d \mathbf{u}_{1}}{d s}+ \\
+3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mu_{1} \mathbf{f}_{u u \mu}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)+ \\
+3 \mu_{1}^{2} \mathbf{f}_{u \mu \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\mathbf{u}_{\mathbf{i}}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+ \\
+\mathbf{f}_{u u u}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{\mathbf{i}} \mid \mathbf{u}_{1}\right)=0
\end{array}
\]

и вообще
\[
\mathfrak{J}_{\mathbf{n}} \mathbf{u}_{n}-n \omega_{n-1} \frac{d \mathbf{u}_{1}}{d s}+n \mu_{n-1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{R}_{n-2}=0,
\]

где $\mathbf{R}_{n-2}$ зависит от членов, порядок которых меньше, чем $n-1$.

Теперь нам нужно решить уравнения (VIII.25-29). Из нашего предположения о том, что $\pm i \omega_{0}$ являются простыми собственными значениями оператора $\mathbf{f}_{n}(0 \mid \cdot)$, следует, что нуль есть полупростое висимыми решениями $\mathbf{z}$ и $\overline{\mathbf{z}}$. Любой другой вектор, обращаемый в нуль оператором $\mathfrak{g}_{0}$, скажем $\mathbf{u}_{1}$, можно представить в виде линейной комбинации независимых решений. Поскольку $\mathbf{u}_{1}$-вещественный вектор, то
\[
\mathbf{u}_{1}=c \mathbf{z}+\bar{c} \overline{\mathbf{z}}=c e^{i s} \boldsymbol{\zeta}_{0}+\bar{c} e^{-i s \bar{\zeta}_{0}} .
\]

Теперь, так как начало отсчета $s$ не определено, можно использовать, подстановку $s \sim s+\alpha$, где $\alpha$ можно выбрать так, что $c e^{i \alpha}=c^{\prime}$ вещественно. Тогда, не ограничивая общности, будем иметь
\[
\mathbf{u}_{1}=c^{\prime}(\mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}})=\mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}},
\]

где $c^{\prime}=1$ в силу (VIII.25), .
Уравнения (VIII.27-29) имею? форму
\[
\left(\mathfrak{J}_{0} \mathbf{u}\right)(s)=\mathrm{g}(s\}=\mathrm{g}(\mathrm{s}+2 \pi) .
\]

Мы хотим найти $\mathbf{u}(s)=\mathbf{u}(s+2 \pi)$, являющееся решением уравнения (VIII.31). Последнее имеет решения $\mathbf{u} \in \mathbb{P}_{2 \pi}$ только тогда, когда $\mathbf{g}$ удовлетворяет некоторым условиям совместности, которые обычно формулируются как альтернатива Фредгольма.

Теорема. Уравнение (VIII.31) разрешимо для $\mathbf{u} \in \mathbb{P}_{2 \pi}$ тогда и только тогда, когда
\[
\left[\mathrm{g}, \mathbf{z}^{*}\right]=\left[\mathrm{g}, \overline{\mathbf{z}}^{*}\right]=0 .
\]

Если g-вещественная вектор-функция, то для разрешимости (VIII.31) достаточно одного условия в комплексной форме (двух условий в вещественной форме)
\[
\left[\mathrm{g}, \mathbf{z}^{*}\right]=\left[\overline{\mathrm{g}, \overline{\mathbf{z}^{*}}}\right]=0 .
\]

Вторую часть («только тогда») альтернативы Фредгольма легко доказать, так как
\[
\left[\mathrm{g}, \mathbf{z}^{*}\right]=\left[\mathfrak{J}_{0} \mathbf{u}, \mathbf{z}^{*}\right]=\left[\mathbf{u}, \mathfrak{J}_{0}^{*} \mathbf{z}^{*}\right]=0 .
\]

Что касается первой части («тогда»), то мы отсылаем читателя к известным работам, в которых используются элементарные результаты функционального анализа, не рассматриваемые в этой книге ${ }^{1}$ ).
1) Cм., например, Joseph D. D., Sattinger D. H., Bifurcating time-periodic solutions and their stability, Arch. Raticnal Mech. Anal., 45, 79-108 (1972), или Sattinger D. H., Topics in Stability and Bifurcation Theory, Lecture Notes in Mathematics 309 (Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972), или Юдович В. И., Возникновение автоколебаний в жидкости (ПММ 35, с. 638-655, 1971 г.).

Можно выбрать $\omega_{n-1}$ и $\mu_{n-1}$ так, что уравнения (VIII.29) будут разрешимы. Используя (VIII.30) и (VIII.33), находим, что (VIII.29) разрешимо, если
\[
\begin{array}{l}
-n \omega_{n-1}\left(\left[\frac{d \mathbf{z}}{d s}, \mathbf{z}^{*}\right]+\left[\frac{d \overline{\mathbf{z}}}{d s}, \mathbf{z}^{*}\right]\right)+n \mu_{n-1}\left(\left[\mathbf{f}_{a \mu}(0 \mid \mathbf{z}), \mathbf{z}^{*}\right]+\right. \\
\left.+\left[\mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \overline{\mathbf{z}}), \mathbf{z}^{*}\right]\right)+\left[\mathbf{R}_{n-\mathbf{2}}, \mathbf{z}^{*}\right]=0 .
\end{array}
\]

Далее, из соотношения $\left\langle\boldsymbol{\zeta}, \zeta^{*}\right\rangle=1$ следует, что $\left[\mathbf{z}, \mathbf{z}^{*}\right]=1$. Более того, $\left[\mathbf{z}, \overline{\mathbf{z}}^{*}\right]=\left[\overline{\mathbf{z}}, \mathbf{z}^{*}\right]=\left[\mathrm{f}_{u \mu}(0 \mid \overline{\mathbf{z}}), \mathbf{z}^{*}\right]=0 ;$ например, $\left[\mathrm{f}_{u \mu}(0 \mid \overline{\mathbf{z}}), \mathbf{z}^{*}\right]=$ $=\left[e^{-2 i s \mathrm{f}_{u \mu}}(0 \mid \bar{\zeta}), \bar{\xi}^{*}\right]=0$ после интегрирования по s. Поэтому, используя только что приведенные результаты и (VIII.21), получаем одно уравнение в комплексной форме
\[
n\left\{-i \omega_{n-1}+\mu_{n-1} \sigma_{\mu}\right\}-\left[\mathbf{R}_{n-2}, \mathbf{z}^{*}\right]=0, \quad n \geqslant 2
\]

или два уравнения в вещественной форме:
\[
\begin{array}{c}
n \mu_{n-1} \xi_{\mu}+\operatorname{Re}\left[\mathbf{R}_{n-2}, \mathbf{z}^{*}\right]=0, \\
n\left\{-\omega_{n-1}+\mu_{n-1} \eta_{\mu}\right\}+\operatorname{Im}\left[\mathbf{R}_{n-2}, \mathbf{z}^{*}\right]=0 .
\end{array}
\]

Уравнение (VIII.34) м $_{1}$ можно разрешить относительно $\mu_{n-1}$, если $\xi_{\mu}
eq 0$ ( $\xi_{\mu}>0$ в силу предположения о строгой потере устойчивости). Затем (VIII.34), можно разрешить относительно $\omega_{n-1}$. Если $n=2$, то
\[
\left[\mathbf{R}_{0}, \mathbf{z}^{*}\right]=\left[\mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{z}^{*}\right]=0,
\]

и поэтому $\omega_{1}=\mu_{1}=0$ и
\[
\mathfrak{J}_{0} \mathbf{u}_{2}=-\mathrm{f}_{u u}(0|\mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}}| \mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}}), \quad\left[\mathbf{u}_{\mathbf{s}}, \mathbf{z}^{*}\right]=0 .
\]

Если $n=3$, то находим, что
\[
\begin{aligned}
3\left\{-i \omega_{\mathbf{s}}+\mu_{\mathbf{s}} \sigma_{\mu}\right\}+3\left[\mathbf{f}_{u a}\left(0|\mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}}| \mathbf{u}_{\mathbf{z}}\right), \mathbf{z}^{*}\right]+ \\
+\left[\mathrm{f}_{u u u}(0|\mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}}| \mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}} \mid \mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}}), \mathbf{z}^{*}\right]=0 .
\end{aligned}
\]

Можно показать, используя метод математической индукции $\left.{ }^{1}\right)$, что
\[
\mu_{2 n+1}=\omega_{2 n+1}=0, \quad n=0,1,2, \ldots,
\]

так что $\mu(\varepsilon)$ и $\omega(\varepsilon)$ суть четные функции. Бифуркационное решение, только что построенное, приводится к решению, найденному в гл. VII для двумерной задачи. В самом деле, для общей задачи и для двумерной задачи формулы для $\mu(\varepsilon)$ и $\omega(\varepsilon)$ совпадают до членов второго порядка по $\varepsilon$. $\qquad$
1) См. цитированную статью Джозефа и Саттингера (1972).