Можно построить периодическое по времени решение, которое ответвляется от решения $\mathrm{u}=0$ в критической точке $(\mu =0)$, в виде рядов по степеням некоторой амплитуды $\epsilon$, как в (VII.44). В этом построении коэффициенты рядов можно было бы вычислить как решения дифференциальных уравнений, которые получаются в результате подстановки этих рядов в (VIII.10) и (VIII.11) и приравнивания в получаемых уравнениях членов при одинаковых степенях \&. В этом случае стратегия ${}^1$ ) заключается в проектировании (получении уравнений (VIII.10) и (VIII.11)) и последующем разложении. Альтернативная стратегия-разложение и последующее проектирование, —излагаемая ниже, является более определенной и простой для реализации.

В этих построениях вычисляются величины, связанные со спектральными задачами (VIII.2) и (VIII.3) при $\mu =0$ :
$$[\epsilon ,\mu ,\xi (\mu ),\eta (\mu ),\sigma (\mu ),\zeta (\mu ),{\zeta }^{\ast }(\mu )]\to [0,0,0,{\omega }_0,i{\omega }_0,{\zeta }_0,{\zeta }_0^{\ast }].$$

Мы предполагаем, что $\pm i{\omega }_0$ представляют собой простые изолированные собственные значения оператора ${\mathrm{f}}_u(0\mid \cdot )$, т. е. $i{\omega }_0{\xi }_0=$ $={\mathrm{f}}_u(0\mid {\zeta }_0),-i{\omega }_0{\overline{\zeta }}_0={\mathrm{f}}_u(0\mid {\overline{\zeta }}_0)$, и что все другие собственные значения ${\mathrm{f}}_a(0\mid \cdot )$ имеют отрицательные вещественные части. Предполагается также, что потеря устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ строгая, если ${\mathit{\epsilon }}_{\mu }(0)>0$. Замечая теперь, что уравнение, получаемое в результате однократного дифференцирования по $\mu$ соотношения (VIII.2) при $\mu =0$ :
$${\sigma }_{\mu }(0){\zeta }_0+i{\omega }_0{\zeta }_{\mu }={\mathrm{f}}_u(0\mid {\zeta }_{\mu })+{\mathrm{f}}_{u\mu }(0\mid {\zeta }_0),$$
1) Она разработана для дифференциальных уравнений с частными производными в статье Ж. Йoca Existence et stabilité de la solution périodique secondaire intervenant dans les problèmes d’évolution du type Navier-Stokes. Arch. Rational. Mech. Anal., 47, 301-329 (1972).

разрешимо тогда и только тогда, когда
$${\sigma }_{\mu }(0)=⟨{\mathbf{f}}_{u\mu }(0\mid {\zeta }_0),{\zeta }_0^{\ast }⟩,$$

из нашего предположения о строгой потере устойчивости следует, что вещественная часть (VIII.14) положительна.

Переходим к построению периодического решения, которое ответвляется от решения $\mathbf{u}=0$ в критической точке. Существуют два периодических решения линеаризованной задачи $\dot{\mathbf{v}}={\mathbf{f}}_a(0\mid \mathbf{v})$ в критической точке: $\mathbf{v}(t)=e^{i{\omega }_{0}t}{\xi }_0$ и $\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)$. Обозначим ${\omega }_{0}t=s$ и положим $\mathbf{z}(s)=e^{is{\xi }_0}=\mathbf{v}\left(s/{\omega }_0\right)$. Теперь введем пространство $2\pi$-периодических функций ${}^1$ ). Обозначим это пространство 2л-периодических функций символом ${\mathbb{P}}_{2\pi }$. Тогда $\mathbf{z}$ и $\overline{z}$ принадлежат ${\mathbb{P}}_{2\pi }$. Определим также скалярное произведение в ${\mathbb{P}}_{2\pi }$
$$[\mathbf{a},\mathbf{b}]=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }⟨\mathbf{a}(s),\mathbf{b}(s)⟩ds$$

и оператор
$${\mathfrak{J}}_0=-{\omega }_0\frac{d}{ds}+{\mathbf{f}}_u(0\mid \cdot ),$$

в нуль-пространстве которого лежат $\mathbf{z}=e^{is{}_5^{\circ }}$ и $\bar{\mathbf{z}}\in {\mathbb{P}}_{2\pi }$ :

Определим сопряженный оператор ${\mathfrak{3}}_0^{\ast }$, действующий на произвольные поля $\mathbf{a}(s),\mathbf{b}(s)\in {\mathbb{P}}_{2\pi }$,

и найдем, что
$${\mathfrak{J}}_0^{\ast }={\omega }_0\frac{d}{ds}+{\mathbf{A}}^{\ast }(0),$$

где оператор ${\mathbf{A}}^{\ast }(0)$ определен формулой (VI.48) и
$${\mathfrak{S}}_0^{\ast }{\mathbf{z}}^{\ast }={\mathfrak{J}}_0^{\ast }{\mathbf{z}}^{\ast }=0,$$

где
$${\mathrm{z}}^{\ast }=e^{i{s}_{60}^{s\ast }}\in {\mathbb{P}}_{2\pi }$$
( ${\zeta }_0^{\ast }$ есть решение задачи (VIII.2)). Можно представить (VII.14) в виде
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\mu }(0)& =⟨{\mathbf{f}}_{t\mu }(0\mid {\zeta }_0{e}^{is})e^{-is},{\zeta }_0^{\ast }⟩=\\ & =⟨{\mathbf{f}}_{t\mu }(0\mid \mathbf{z}),{\mathbf{z}}^{\ast }⟩=[{\mathbf{f}}_{u\mu }(0\mid \mathbf{z}),{\mathbf{z}}^{\ast }].\end{array}$$
${}^1$ ) Естественно, мы предполагаем, что функции, принадлежацие ${\mathbb{P}}_{2\pi }$, обладают гладкостью, требуемой для наших вычислений. Точная степень гладкости указана в работах, цитируемых в этой главе, и здесь не отмечается.

Теперь мы готовы к построению периодических бифуркационных решений уравнения $\dot{\mathbf{u}}=f(\mu ,\mathbf{u})$ в виде рядов по степеням амплитуды
$$\epsilon =[\mathbf{u},{\mathbf{z}}^{\ast }]\text{. }$$

Возможны различные определения амплитуды. Например, можно положить ${\epsilon }^n=f[\mathbf{u}]$, где $f[\mathbf{u}]$ есть однородный функционал с показателем однородности $n$, так что если $\mathbf{u}=\epsilon \mathbf{v}$, то $1=f$ [v]. Обычно лучше выбрать такую амплитуду, которая отражает физический смысл задачи. Например, в нелинейных задачах о переносе тепла при заданной на границе температуре удобно было бы определить $\epsilon$ через суммарный тепловой поток.
Мы ищем $2\pi$-периодические по $s=\omega (\epsilon )t$ решения в форме
$$\mathbf{u}(s,\epsilon )=\mathbf{u}(s+2\pi ,\epsilon ),\mu (\epsilon ),\omega (\epsilon ),$$

где
$$\mathbf{u}(s,0)=0,\mu (0)=0,\omega (0)={\omega }_0$$

и
$$\omega (\epsilon )\frac{d\mathbf{u}}{ds}=f(\mu (\epsilon ),\mathbf{u}).$$

Это решение можно найти в виде степенных рядов, используя альтернативу Фредгольма:
$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}(s,\epsilon )\\ \mu (\epsilon )\\ \omega (\epsilon )-{\omega }_0\end{array}\right]=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^n}{n!}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_n(s)\\ {\mu }_n\\ {\omega }_n\end{array}\right].$$

Подставляя (VIII.24) в (VIII.23) и (VIII.22), находим уравнения для определения коэффициентов правой части (VIII.24). Для того чтобы сохранить определение (VIII.22) амплитуды $\epsilon$, мы должны иметь
$$[{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{z}}^{\ast }]-1=[{\mathbf{u}}_n,{\mathbf{z}}^{\ast }]=0,n⩾2.$$

Уравнение (VIII.23) будет удовлетворено, если
$$\begin{array}{c}{\mathfrak{J}}_0{\mathbf{u}}_1=0\\ {\mathfrak{J}}_0{\mathbf{u}}_2-2{\omega }_1\frac{d{\mathbf{u}}_1}{ds}+2{\mu }_1{\mathbf{f}}_{tu}(0\mid {\mathbf{u}}_1)+{\mathbf{f}}_{tu}\left(0\left|{\mathbf{u}}_1\right|{\mathbf{u}}_1\right)=0\\ {\mathfrak{J}}_0{\mathbf{u}}_3-3{\omega }_1\frac{d{\mathbf{u}}_2}{ds}+3{\mu }_1{\mathbf{f}}_{tu}(0\mid {\mathbf{u}}_2)-3{\omega }_2\frac{d{\mathbf{u}}_1}{ds}+\\ +3{\mu }_2{\mathbf{f}}_{u\mu }(0\mid {\mathbf{u}}_1)+3{\mu }_1{\mathbf{f}}_{uu\mu }\left(0\left|{\mathbf{u}}_1\right|{\mathbf{u}}_1\right)+\\ +3{\mu }_1^2{\mathbf{f}}_{u\mu \mu }(0\mid {\mathbf{u}}_1)+3{\mathbf{f}}_{uu}\left(0\left|{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}\right|{\mathbf{u}}_2\right)+\\ +{\mathbf{f}}_{uuu}(0\left|{\mathbf{u}}_1\right|{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}\mid {\mathbf{u}}_1)=0\end{array}$$

и вообще
$${\mathfrak{J}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{u}}_n-n{\omega }_{n-1}\frac{d{\mathbf{u}}_1}{ds}+n{\mu }_{n-1}{\mathbf{f}}_{u\mu }(0\mid {\mathbf{u}}_1)+{\mathbf{R}}_{n-2}=0,$$

где ${\mathbf{R}}_{n-2}$ зависит от членов, порядок которых меньше, чем $n-1$.

Теперь нам нужно решить уравнения (VIII.25-29). Из нашего предположения о том, что $\pm i{\omega }_0$ являются простыми собственными значениями оператора ${\mathbf{f}}_n(0\mid \cdot )$, следует, что нуль есть полупростое висимыми решениями $\mathbf{z}$ и $\bar{\mathbf{z}}$. Любой другой вектор, обращаемый в нуль оператором ${\mathfrak{g}}_0$, скажем ${\mathbf{u}}_1$, можно представить в виде линейной комбинации независимых решений. Поскольку ${\mathbf{u}}_1$-вещественный вектор, то
$${\mathbf{u}}_1=c\mathbf{z}+\overline{c}\bar{\mathbf{z}}=c{e}^{is}{\mathit{\zeta }}_0+\overline{c}{e}^{-is{\overline{\zeta }}_0}.$$

Теперь, так как начало отсчета $s$ не определено, можно использовать, подстановку $s\sim s+\alpha$, где $\alpha$ можно выбрать так, что $c{e}^{i\alpha }=c^{\prime }$ вещественно. Тогда, не ограничивая общности, будем иметь
$${\mathbf{u}}_1=c^{\prime }(\mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}})=\mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}},$$

где $c^{\prime }=1$ в силу (VIII.25), .
Уравнения (VIII.27-29) имею? форму
$$\left({\mathfrak{J}}_0\mathbf{u}\right)(s)=\mathrm{g}(s\}=\mathrm{g}(\mathrm{s}+2\pi ).$$

Мы хотим найти $\mathbf{u}(s)=\mathbf{u}(s+2\pi )$, являющееся решением уравнения (VIII.31). Последнее имеет решения $\mathbf{u}\in {\mathbb{P}}_{2\pi }$ только тогда, когда $\mathbf{g}$ удовлетворяет некоторым условиям совместности, которые обычно формулируются как альтернатива Фредгольма.

Теорема. Уравнение (VIII.31) разрешимо для $\mathbf{u}\in {\mathbb{P}}_{2\pi }$ тогда и только тогда, когда
$$[\mathrm{g},{\mathbf{z}}^{\ast }]=[\mathrm{g},{\bar{\mathbf{z}}}^{\ast }]=0.$$

Если g-вещественная вектор-функция, то для разрешимости (VIII.31) достаточно одного условия в комплексной форме (двух условий в вещественной форме)
$$[\mathrm{g},{\mathbf{z}}^{\ast }]=\left[\stackrel{―}{\mathrm{g},\overline{{\mathbf{z}}^{\ast }}}\right]=0.$$

Вторую часть («только тогда») альтернативы Фредгольма легко доказать, так как
$$[\mathrm{g},{\mathbf{z}}^{\ast }]=[{\mathfrak{J}}_0\mathbf{u},{\mathbf{z}}^{\ast }]=[\mathbf{u},{\mathfrak{J}}_0^{\ast }{\mathbf{z}}^{\ast }]=0.$$

Что касается первой части («тогда»), то мы отсылаем читателя к известным работам, в которых используются элементарные результаты функционального анализа, не рассматриваемые в этой книге ${}^1$ ).
1) Cм., например, Joseph D. D., Sattinger D. H., Bifurcating time-periodic solutions and their stability, Arch. Raticnal Mech. Anal., 45, 79-108 (1972), или Sattinger D. H., Topics in Stability and Bifurcation Theory, Lecture Notes in Mathematics 309 (Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972), или Юдович В. И., Возникновение автоколебаний в жидкости (ПММ 35, с. 638-655, 1971 г.).

Можно выбрать ${\omega }_{n-1}$ и ${\mu }_{n-1}$ так, что уравнения (VIII.29) будут разрешимы. Используя (VIII.30) и (VIII.33), находим, что (VIII.29) разрешимо, если
$$\begin{array}{l}-n{\omega }_{n-1}([\frac{d\mathbf{z}}{ds},{\mathbf{z}}^{\ast }]+[\frac{d\bar{\mathbf{z}}}{ds},{\mathbf{z}}^{\ast }])+n{\mu }_{n-1}([{\mathbf{f}}_{a\mu }(0\mid \mathbf{z}),{\mathbf{z}}^{\ast }]+\\ +[{\mathbf{f}}_{u\mu }(0\mid \bar{\mathbf{z}}),{\mathbf{z}}^{\ast }])+[{\mathbf{R}}_{n-\mathbf{2}},{\mathbf{z}}^{\ast }]=0.\end{array}$$

Далее, из соотношения $⟨\mathit{\zeta },{\zeta }^{\ast }⟩=1$ следует, что $[\mathbf{z},{\mathbf{z}}^{\ast }]=1$. Более того, $[\mathbf{z},{\bar{\mathbf{z}}}^{\ast }]=[\bar{\mathbf{z}},{\mathbf{z}}^{\ast }]=[{\mathrm{f}}_{u\mu }(0\mid \bar{\mathbf{z}}),{\mathbf{z}}^{\ast }]=0;$ например, $[{\mathrm{f}}_{u\mu }(0\mid \bar{\mathbf{z}}),{\mathbf{z}}^{\ast }]=$ $=[e^{-2is{\mathrm{f}}_{u\mu }}(0\mid \overline{\zeta }),{\overline{\xi }}^{\ast }]=0$ после интегрирования по s. Поэтому, используя только что приведенные результаты и (VIII.21), получаем одно уравнение в комплексной форме
$$n\{-i{\omega }_{n-1}+{\mu }_{n-1}{\sigma }_{\mu }\}-[{\mathbf{R}}_{n-2},{\mathbf{z}}^{\ast }]=0,n⩾2$$

или два уравнения в вещественной форме:
$$\begin{array}{c}n{\mu }_{n-1}{\xi }_{\mu }+\mathrm{Re}[{\mathbf{R}}_{n-2},{\mathbf{z}}^{\ast }]=0,\\ n\{-{\omega }_{n-1}+{\mu }_{n-1}{\eta }_{\mu }\}+\mathrm{Im}[{\mathbf{R}}_{n-2},{\mathbf{z}}^{\ast }]=0.\end{array}$$

Уравнение (VIII.34) м ${}_1$ можно разрешить относительно ${\mu }_{n-1}$, если ${\xi }_{\mu }eq0$ ( ${\xi }_{\mu }>0$ в силу предположения о строгой потере устойчивости). Затем (VIII.34), можно разрешить относительно ${\omega }_{n-1}$. Если $n=2$, то
$$[{\mathbf{R}}_0,{\mathbf{z}}^{\ast }]=[{\mathbf{f}}_{uu}\left(0\left|{\mathbf{u}}_1\right|{\mathbf{u}}_1\right),{\mathbf{z}}^{\ast }]=0,$$

и поэтому ${\omega }_1={\mu }_1=0$ и
$${\mathfrak{J}}_0{\mathbf{u}}_2=-{\mathrm{f}}_{uu}(0|\mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}}|\mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}}),[{\mathbf{u}}_{\mathbf{s}},{\mathbf{z}}^{\ast }]=0.$$

Если $n=3$, то находим, что
$$\begin{array}{r}3\{-i{\omega }_{\mathbf{s}}+{\mu }_{\mathbf{s}}{\sigma }_{\mu }\}+3[{\mathbf{f}}_{ua}(0|\mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}}|{\mathbf{u}}_{\mathbf{z}}),{\mathbf{z}}^{\ast }]+\\ +[{\mathrm{f}}_{uuu}(0|\mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}}|\mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}}\mid \mathbf{z}+\bar{\mathbf{z}}),{\mathbf{z}}^{\ast }]=0.\end{array}$$

Можно показать, используя метод математической индукции ${}^1)$, что
$${\mu }_{2n+1}={\omega }_{2n+1}=0,n=0,1,2,\dots ,$$

так что $\mu (\epsilon )$ и $\omega (\epsilon )$ суть четные функции. Бифуркационное решение, только что построенное, приводится к решению, найденному в гл. VII для двумерной задачи. В самом деле, для общей задачи и для двумерной задачи формулы для $\mu (\epsilon )$ и $\omega (\epsilon )$ совпадают до членов второго порядка по $\epsilon$. $$
1) См. цитированную статью Джозефа и Саттингера (1972).