Теперь, подставляя в (XI.124) выражение (XI.127) для $\mathbf{Z}(\tau)$, получим уравнение для определения $\tau(t)$, которое описывает поведение решения на траекториях, лежащих на инвариантном торе. Выполняя выкладки, аналогичные приведенным в § X.11, можно записать уравнение (X.135) в форме
\[
\begin{array}{c}
\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}} \tau+\theta(\tau)+\varepsilon^{n-4} H_{n-4}\left(\tau, \frac{\eta_{0}}{\omega_{0}} \tau+\theta(\tau)\right)+\ldots= \\
=\left[\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] \tau+\chi(\tau, \varepsilon),
\end{array}
\]

где функции $H_{l}$ удовлетворяют условиям $H_{l}(\cdot+2 \pi, \cdot)=H_{l}(\cdot, \cdot+2 \pi)=$ $=H_{l}(\cdot, \cdot)$. Поэтому, обращая уравнение (XI.136), имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}} \tau+\theta(\tau)=\left[\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] \tau+ \\
+\varepsilon^{n-4} G_{n-4}\left(\tau,\left[\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] \tau+\chi_{10}\right)+\ldots+\chi_{1}(\tau, \varepsilon),
\end{array}
\]

где $G_{l}$ суть $2 \pi$-периодические по обоим аргументам функцин, а $\chi_{10}=$ $=\chi_{1}(0, \varepsilon),\left|\partial \chi_{1}(\tau, \varepsilon) / \partial \tau\right|=O\left(\varepsilon^{N}\right)$. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда функшии $G_{l}$ представляются в виде конечных рядов Фурье по второму аргументу. Более высокие гармоники появляются от членов более высокого порядка по $\varepsilon$, а усечение рядов производится на членах, имеюших порядок $\varepsilon^{N-1}$.
Аналогично, используя методы $\S X .9$, находим, что
\[
\rho(\tau)=\varepsilon+\varepsilon^{n-3} R_{n-8}\left(\tau, \frac{\eta_{0}}{\omega_{0}} \tau+\theta(\tau)\right)+\ldots+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\]

где функции $R_{t}$ являются $2 \pi$-периодическими по обоим аргументам. Теперь заменим в (XI.133), (XI.134) $\rho(\tau)$ и $\left(\eta_{0} / \omega_{0}\right) \tau+\theta(\tau)$ их выражениями (XI.138), (XI.137). Тогда уравнение (XI.124) можно представить в форме
\[
\frac{d \tau}{d t}=\hat{\omega}[\mu(\varepsilon)]+\sum_{k \geqslant 1}^{N} \varepsilon^{k} T_{k}\left(\tau,\left[\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] \tau+\chi_{10}\right)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right)+\chi_{2}(\tau, \varepsilon),
\]

где $T_{k}$ суть $2 \pi$-периодические по обоим аргументам функции, а $\left|\partial \chi_{2}(\tau, \varepsilon) / \partial \tau\right|=O\left(\varepsilon^{N+1}\right)$. Вообще говоря, функция $\chi_{2}$ содержит вековые члены, однако функции $T_{k}$ представляются конечными рядами Фурье $^{1}$ ) (доказательство то же самое, что и для $G_{l}$ ), и все более высокие гармоники содержатся в членах $O\left(\varepsilon^{N+1}\right)$.
Нетрудно также показать, что
\[
\left[\hat{\omega}[\mu(\varepsilon)]+\sum_{k=1}^{N} \mathrm{e}^{k} T_{k}\left(\tau, \tilde{\Omega}\left(\varepsilon^{2}\right) \tau\right)\right]^{-1}=\omega_{0}^{-1}+\sum_{k} \sum_{1}^{k} \varepsilon^{k} S_{k}\left(\tau, \tilde{\Omega}\left(\varepsilon^{2}\right) \tau\right)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\]

где функции $S_{k}$ 2л-периодичны по обеим переменным, а
\[
\tilde{\Omega}\left(\varepsilon^{2}\right) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\eta_{0}}{\omega_{0}}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Когда $\tau=O(1)$, то вековые члены в $\chi_{2}$ ограничены, $\left|\chi_{2}\right|=O\left(\varepsilon^{N+1}\right)$ и тогда интегрирование уравнения (XI.139) дает
\[
\omega_{0}^{-1} \tau+\sum_{k \geqslant 1}^{N} \varepsilon^{k} \int_{0}^{\tau} S_{k}\left(s, \tilde{\Omega}\left(\varepsilon^{2}\right) s\right) d s+\chi_{3}(\tau, \varepsilon)=t-t_{0},
\]

где $\left|\chi_{3}\right|=O\left(\varepsilon^{N+1}\left(1+\tau+\tau^{2}\right)\right)$. Чтобы вычислить интегралы, представим подынтегральные выражения в виде разложений
\[
S_{k}\left(s, \tilde{\Omega}\left(\varepsilon^{2}\right) s\right)=\sum_{l_{1}, l_{2}} S_{k l_{1} l_{2}} \exp \left(i\left(l_{1}+\tilde{\Omega} l_{2}\right) s\right),
\]

и если $l_{1}+\tilde{\Omega} l_{2}
eq 0$ для всех $l_{1}, l_{2}$ в приведенных суммах, то
\[
\int_{0}^{\tau} S_{k}(s, \tilde{\Omega} s) d s=\sum_{l_{1}, l_{2}} \frac{S_{k l_{1} l_{2}}}{i\left(l_{1}+\tilde{\Omega} l_{2}\right)}\left[\exp \left(i\left(l_{1}+\tilde{\Omega} l_{2}\right) \tau\right)-1\right] .
\]

Если для некоторых $l_{1}$ и $l_{2}: l_{1}+\dot{Q} l_{2}=0$, то формула (XI.142) неверна, и для вычисления интегралов в (XI.141) нужно использовать другой путь. Так как суммирование по $l_{2}$ в (XI.142) конечноє, то можно вычислять интегралы как в (XI.142), если только $\tilde{l}_{1}+\Omega l_{2}:
eq 0$. При неограниченном суммировании можно было бы ожидать появление малых знаменателей и расходимости рядов, даже если $\Omega\left(\varepsilon^{3}\right)$ является иррациональным числом.

Уравнения (XI.141) и (XI.142) показывают, что усеченные решения, подавляющие члены более высокого порядка (которые могут быть вековыми) имеют вид
\[
\mathbf{V} \approx \mathbf{V}(\omega t, \omega \bar{\Omega} t),
\]

где функция $\mathbf{V}$ является $2 \pi$-периодической по обоим аргументам. Чтобы определить $\omega$, сделаем замену переменных для преобразования правой части уравнения (XI.139) в функцию, которая является постоянной с точностью до членов порядка $\varepsilon^{N+1}$. Конечно, $\omega=\omega_{0}+O(\varepsilon)$, а
\[
\tilde{\Omega}=\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Число вращения отображения Пуанкаре (см. § X.15) здесь дается формулой
\[
\hat{\rho}(f)=\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)+O\left(\varepsilon^{N}\right) .
\]

Для приближенных решений (XI.143) число $\hat{\rho}$ определяется отношением частот. Заключения § X. 15 здесь неприменимы, потому что предположения об иррациональности числа $\hat{\rho}$ не достаточно для того, чтобы гарантировать квазипериодичность решений на торе. Мы получим квазипериодические решения, если $\hat{\rho}$ не очень хорошо аппроксимируется рациональными числами. К счастью, «бо́льшая часть» чисел («бо́льшая часть» определяется в смысле меры Лебега) обладает требуемым свойством, и для них справедливы заключения гл. X.