$4 T$-периодические решения относятся к указанному в § IX. 10 случаю (2) с $n=4$ и $m=1$, 3. Из условия нормировки (IX.47) следует, что
\[
e^{i \varphi_{0}}=\left[\mathbf{u}_{1}, \mathrm{Z}^{*}\right]_{4 T} .
\]

Поэтому можно взять функцию $\mathbf{u}_{i}$, удовлетворяющую уравнению $\sqrt{ } \mathbf{u}_{1}=0$, в форме, даваемой формулой (IX.64), В § IX. 13 уже было установлено, что $\mu_{1}=0$, если $n=4$. При $\mu_{1}=0$ уравнение (IX.50) можно разрешить не относительно $\mathbf{u}_{2}$, а относительно функции $\mathbf{w}_{0}$, которая входит в разложение (IX.69) функции $\mathbf{u}_{2}$. Члены разложения $\mathbf{u}_{2}=2 i \varphi_{1} e^{i \varphi_{0}} \mathbf{Z}-2 i \varphi_{1} e^{-i \varphi_{0} \overline{\mathbf{Z}}}+2 \mathbf{w}_{0}(t)$, пропорциональные $\varphi_{1}$, обращаются в нуль после интегрирования и
\[
\left[\mathbf{f}_{t u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{4 T}=2\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{w}_{0}\right), Z^{*}\right]_{4 T} .
\]
(На самом деле (IX.77) имеет место, если $\mathbf{u}_{2}$ заменить на $\mathbf{u}_{n}$, а $2 \mathbf{w}_{0}$ на $n(n-1) \mathbf{w}_{n-2}$ (см. (IX.53)).)

Для нахождения $\mu_{2}$ и $\varphi_{0}$ необходимо вычислить интегралы в (IX.67) и (IX.77) и получаемые уравнения разрешить относительно $\mu_{2}$ и $\varphi_{0}$. Для упрощения уравнений предварительно отметим, что при $\mu_{1}=0$ (IX.50) можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{2} \mathbf{w}_{0}=-\mathbf{f}_{u_{u}}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)=-\left\{e^{2 i \varphi_{0}} \mathbf{f}_{u u}(t|\mathbf{Z}| \mathbf{Z})+\right. \\
\left.+2 \mathfrak{f}_{t_{u}}(t|\overline{\mathbf{Z}}| \mathbf{Z})+e^{-2 i \varphi_{0} \mathfrak{f}_{u t}}(t|\overline{\mathbf{Z}}| \overline{\mathbf{Z}})\right\}, \\
\end{array}
\]

где $\mathbf{w}_{0}$ не содержит членов, пропорциональных собственным векторам оператора $\sqrt{ }$, т. е. $\left[\mathbf{w}_{0}, Z^{*}\right]_{4 T}=0$. В самом деле, решения уравнения (IX.78), ортогональные $\mathbf{Z}^{*}$ (и $\overline{\mathbf{Z}}^{*}$ ), определяются единственным образом в виде
\[
\begin{array}{l}
2 \mathbf{w}_{0}(t)=\mathbf{w}_{02}(t)+\exp i\left(2 \varphi_{0}+\left(\frac{\pi m t}{T} j\right) \mathbf{w}_{01}(t)+\right. \\
\quad+\exp \left(-i\left(2 \varphi_{0}+\left(\frac{\pi m t}{T}\right)\right)\right) \overline{\mathbf{w}}_{01}(t), \quad \mathbf{w}_{0 j} \in \mathbb{P}_{T} .
\end{array}
\]

Возвращаясь теперь к уравнению (IX.67) и учитывая (IX.64), (IX.77) и (IX.79), находим, что после интегрирования многие члены обратятся в нуль и окончательно будем иметь
\[
\mu_{2} \sigma_{\mu}(0) e^{i \varphi_{0}}+\Lambda_{2} e^{i \varphi_{0}}+\Lambda_{3} e^{-3 i \varphi_{0}}=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Lambda_{2}=\left[\mathrm{f}_{t u t}\left(t|\bar{\zeta}| \mathbf{w}_{01}\right), \zeta^{*}\right]_{T}+\left[\mathrm{f}_{u u}\left(t|\zeta| \mathbf{w}_{02}\right), \zeta^{*}\right]_{T}+ \\
+\left[\mathrm{f}_{t u u}(t|\zeta| \zeta \mid \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right]_{T}, \\
\Lambda_{s}=\left[e^{-2 \pi i m t / T} \mathbf{f}_{u a}\left(t|\bar{\zeta}| \mathbf{w}_{01}\right), \zeta^{*}\right]_{T}+ \\
+\frac{1}{3}\left[e^{-2 \pi i m t / T} \mathfrak{f}_{u u u}(t|\bar{\zeta}| \bar{\zeta} \mid \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right]_{T}, \\
\end{array}
\]

а $m=1$ или 3.

Уравнение (IX.80) можно записать в виде
\[
e^{-4 i \varphi_{0}}=-\frac{\mu_{3}+\left(\Lambda_{2} / \sigma_{\mu}\right)}{\Lambda_{3} / \sigma_{\mu}} .
\]

Так как модуль функции $e^{-4 i \varphi_{0}}=1$, то имеем
\[
\left|\frac{\Lambda_{3}}{\sigma_{\mu}}\right|=\left|\mu_{2}+\frac{\Lambda_{2}}{\sigma_{\mu}}\right| .
\]

Вещественные значения $\mu_{2}$, удовлетворяющие (IX.82), могут, конечно, существовать при условии, что
\[
\left|\frac{\Lambda_{3}}{\sigma_{\mu}}\right| \geqslant\left|\operatorname{Im} \frac{\Lambda_{2}}{\sigma_{\mu}}\right| .
\]

Предположим, что (IX.83) выполняется; тогда, возводя в квадрат обе части уравнения (IX.82) и решая получаемое квадратное уравнение относительно $\mu_{2}$, находим
\[
\left[\begin{array}{l}
\mu_{2}^{(1)} \\
\mu_{2}^{(2)}
\end{array}\right]=-\operatorname{Re}\left(\frac{\Lambda_{2}}{\sigma_{\mu}}\right)\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]+\left\{\left|\frac{\Lambda_{3}}{\sigma_{\mu}}\right|^{2}-\left[\operatorname{Im} \frac{\Lambda_{2}}{\sigma_{\mu}}\right]^{2}\right\}^{1 / 2}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right] .
\]

Для каждого из значений $\mu_{2}^{(1)}$ и $\mu_{2}^{(2)}$ из уравнения (IX.80) получаем четыре значения $\varphi_{0}$ :
\[
\varphi_{0}^{(l)}=\frac{1}{4} \arg \left\{-\frac{\Lambda_{3}}{\left(\sigma_{\mu} \mu_{2}^{(l)}+\Lambda_{2}\right)}\right\}+\left(\frac{\pi k}{2}\right), l=1,2, k=0,1,2,3 .
\]

Для определения $\varphi_{p}$ и $\mu_{p+2}$ необходимо рассмотреть условие разрешимости $\left[\left(\mathrm{IX.52)}, \mathrm{Z}^{*}\right]_{n T}\right.$ для уравнения (IX.52):
\[
\begin{array}{l}
p \mu_{p-1} \sigma_{\mu} e^{i \varphi_{0}}+p(p-1)\left\{\mu_{2}\left[\mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{p-2}\right), \mathbf{Z}_{*}\right]_{4 T}+\right. \\
\left.+\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{2}\right| \mathbf{u}_{p-2}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{4 T}+\left[\frac{1}{2} \mathbf{f}_{u u t}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{p-2}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{4 T}\right\}+ \\
+p(p-1)(p-2)\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{w}_{p-3}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{4 T}+\left[\mathbf{g}_{p}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{4 T}=0,
\end{array}
\]

где $\varphi_{p-3}$ входит в (IX.86) через функцию $\mathbf{u}_{p-2}$, определенную формулой (IX.53). Используя метод математической индукции, можно установить, что
\[
\mu_{2 p-1}=\varphi_{2 p-1}=0 \text { для } p \geqslant 1 .
\]

Условия разрешимости уравнений для определения членов более высокого порядка эквивалентны решению задач бифуркации на основе применения теоремы о неявных функциях (смотри замечание в заключительной части дополнения V.1). Регулярность решения как функции $\varepsilon$ зависит от регулярности функции $\mathrm{f}(\cdot, \cdot)$, и оно будет аналитическим, если таковой является $\mathfrak{f}(\cdot, \cdot)$.

Суммируем теперь результаты, полученные для $4 T$-периодических субгармонических бифуркационных решений.

Теорема. Предположим, что выполняются условия (I), (II) $u$ (III) § IX. 6 для $n=4$, а коэффициенты $\sigma_{\mu}(0), \Lambda_{2}$ и $\Lambda_{3}$ определяются по формуле (IX.38) и формулам, которые приведены после (IX.80). Тогда, если $\left|\operatorname{Im} \Lambda_{2} / \sigma_{\mu}\right|>\left|\Lambda_{3} / \sigma_{\mu}\right|$, то не существует малых по амп. литуде 4T-периодических бифуркационных решений уравнения (IX.1) для $\mu$, близких к нулю. Если $\left|\Lambda_{3} / \sigma_{\mu}\right|>\left|\operatorname{Im}\left(\Lambda_{2} / \sigma_{\mu}\right)\right|$, то существуют два нетривиальные $4 T$-периодические бифуркационные решения уравнения (IX. 1) слева и справа от критической точки. Если $\left|\Lambda_{2}\right|<\left|\Lambda_{3}\right|$, то одно решение существует только для $\mu \geqslant 0$, а другое-только для $\mu \leqslant 0$. Если $\left|\Lambda_{2}\right|>\left|\Lambda_{3}\right|$, то два бифуркационные решения существуют с одной и той же стороны от $\mu=0: \mu \geqslant 0$, если $\operatorname{Re}\left(\Lambda_{\mathbf{2}} / \sigma_{\mu}\right)<0 ; \mu \leqslant 0$, если $\operatorname{Re}\left(\Lambda_{\mathrm{g}} / \sigma_{\mu}\right)>0$. Главные части бифуркационных решений даются формулами
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{u}^{(j)}(t, \varepsilon)=\varepsilon \exp i\left[\varphi^{(j)}\left(\varepsilon^{2}\right)-\left(\frac{\pi m t}{2 T}\right)\right] \zeta(t)+ \\
\quad+\varepsilon \exp \left(-i\left[\varphi^{(j)}\left(\varepsilon^{2}\right)-\left(\frac{\pi m t}{2 T}\right)\right]\right) \bar{\zeta}(t)+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\mu^{(j)}\left(\varepsilon^{2}\right)=\varepsilon^{2} \mu_{2}^{(j}+O\left(\varepsilon^{4}\right), \quad \mu_{2}^{(1)}=0, \text { если }\left|\Lambda_{2}\right|=\left|\Lambda_{8}\right|, \quad \text { (IX.88) } \\
\varphi^{(j)}\left(\varepsilon^{2}\right)=\frac{1}{4} \arg \left[-\frac{\Lambda_{3}}{\left(\sigma_{\mu} \mu_{g}^{(j)}+\Lambda_{2}\right)}\right]+\left(\frac{\pi k}{2}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right), m=1,3, \quad j=1,2 .
\end{array}
\]

Значения $k=0,1,2,3$ соответствуют переносу начала отсчета на интервалы, кратные периоду $T: 0, T, 2 T, 3 T$, если $m=1 ; 0,3 T, 2 T, T$, если $m=3$. Функции $\mu^{(j)}$ являются аналитическими ${ }^{1}$ ) относительно $\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathbf{2}}$, а $\mathbf{u}^{(j)}$ аналитические по $\boldsymbol{\varepsilon}$.

Рекурсивное построение нашего решения в виде рядов показывает, что свойства инвариантности $\mathbf{u}(t, \varepsilon)$ по отношению к переносам начала отсчета $t$ на отрезки, кратные периоду $T$, можно вывести из свойств преобразования коэффициентов
\[
e^{i\left(\varphi_{0}+(\pi m t / T)\right)} \stackrel{\text { de }}{=} e^{i(t), t}
\]

в выражении для $\varepsilon \mathbf{u}_{1}(t)=\varepsilon e^{i \theta_{0} t} \zeta(t)+\varepsilon e^{-i \theta_{0}} \bar{\zeta}(t), \zeta(\cdot) \in \mathbb{P}_{T}$. Это выражение и коэффициенты $\mathbf{u}_{n}(t)$, рекурсивно зависящие от $\mathbf{u}_{1}(t)$, не изменяются для первой группы переносов
\[
\varphi_{0} \mapsto \varphi_{0}+(\pi / 2), t \mapsto t-T \quad(m=1) \text { и } t \mapsto t+T \quad(m=3) .
\]

С другой стороны, группа переносов $\varphi_{0} \mapsto \varphi_{0}+\pi, t \mapsto t-2 T$ ( $m=1$ или 3) приводит к преобразованию $\varepsilon \mathbf{u}_{1}(t) \mapsto \varepsilon \mathbf{u}_{1}(t-2 T)=(-\varepsilon) \mathbf{u}_{1}(t)$. Это преобразование эквивалентно преобразованию $\mathbf{u}(t, \varepsilon) \mapsto \mathbf{u}(t-2 T, \varepsilon)=$ $=\mathbf{u}(t,-\varepsilon)$, потому что перенос $t$ изменяет знак коэффициентов с нечетными номерами $\mathbf{u}_{2 n-1}(t)$, что равносильно изменению знака $\varepsilon$ в разложении функции $\mathbf{u}(t, \varepsilon)$.
1. Если I аналитическая по $(\mu, u)$.