Будем предполагать без ограничения общности, что $\mathbf{u}=0$ устойчиво $(\xi(\mu)<0)$, если $\mu<0$, и неустойчиво $(\xi(\mu)>0)$, если $\mu>0$. Значение $\mu=0$ является критическим. Для критического значения
\[
(\xi(0), \eta(0), \sigma(0))=\left(0, \omega_{0}, i \omega_{0}\right) .
\]
Будем говорить, что потеря устойчивости $\mathbf{u}=0$ является строгой, если
\[
\xi^{\prime}(0) \stackrel{\text { dei }}{=} \frac{d \xi(0)}{d \mu}>0,
\]
и напомним, что в $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$ это условие приводит к двойной точке бифурdef
кации. Обозначим $(\cdot)^{\prime}=d(\cdot) / d \mu$. Тогда, предполагая, ч1о $\sigma$ и $\mathbf{x}$ дифференцируемы, найдем в результате дифференцирования (IV.20):
\[
\mathbf{A}(\mu) \cdot \mathbf{x}^{\prime}+\mathbf{A}^{\prime}(\mu) \cdot \mathbf{x}=\sigma^{\prime} \mathbf{x}+\sigma \mathbf{x}^{\prime} .
\]
Построим теперь скалярное произведение (IV.26) и присоединенного собственного вектора, соответствующего собственному значению $\sigma$, и заметим, что
\[
\left\langle\mathbf{A} \cdot \mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\sigma \mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{y}\right\rangle,
\]
и поэтому
\[
\sigma^{\prime}\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\left\langle\mathbf{A}^{\prime} \cdot \mathbf{x}, \mathbf{y}\right\rangle,
\]
где
\[
\left[\mathbf{A}^{\prime}(\mu)\right]=\left[\begin{array}{ll}
a^{\prime}(\mu) & b^{\prime}(\mu) \\
c^{\prime}(\mu) & d^{\prime}(\mu)
\end{array}\right] .
\]
Формула (IV.27) справедлива для простого собственного значения $\sigma(\mu)$. В полупростом случае два различных собственных вектора $\mathbf{x}_{1}$ и $\mathbf{x}_{2}$ соответствуют одному и тому же $\sigma$, и для нахождения $\sigma^{\prime}(\mu)$ дополнительно необходимо найти линейные комбинации $\mathbf{x}_{1}$ и $\mathbf{x}_{2}$, для которых выполняется уравнение (IV.26) (собственные векторы А’ для $\mu=0$ ). Уравнение (IV.27) не имеет смысла, если $\sigma$-кратное собственное значение с индексом Риса, большим единицы; в этом случае $\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=0$ для всех собственных векторов и невозможно произвести нормировку так, чтобы $\langle x, y\rangle=1$.
Строгое пересечение в случае простого собственного значения означает, что
\[
\left.\sigma^{\prime}(0)=\left\langle\mathbf{A}^{\prime}(0) \cdot \mathbf{x}_{1}, \mathbf{y}_{2}\right\rangle, \quad \operatorname{Re} \sigma^{\prime}(0)\right\rangle 0,
\]
если собственное значение с наибольшей вещественной частью удовлетворяет условию $\xi_{1}(0)=0$.
Возможные способы пересечения собственным значением $\sigma(\mu)$ прямой $\xi=0$ в простом и полупростом случаях показаны на рис. IV.3.
Возмущение $\sigma(\mu)$ при $\mu=0$, когда $\sigma(0)$-двукратное собственное значение с индексом два (не полупростое), носит специальный характер, потому что, вообще говоря, $\sigma(\cdot)$ не дифференцируема при
Рис. IV.3. Направления строгого пересенения $\xi_{1}(0)=0, \xi_{1}^{\prime}(0)>0$ в простом (а, б) н (полупростом (в, г) случаях. (а) Два собственных значения вещественные и различные; $\xi_{1}(0)=0$. (б) Пересечение мнимой оси парой комплексно-сопряженных собственных значений. (в) Два вещественных собственных значения пересекают мнимую ось одновременно, однако могут иметь разные скорости (или разные направления). (г) Два комплексно-сопряженных собственных значения проходят через ось $\eta$, взаимно пересекаясь.
$\mu=0: \sigma(0)$ представляет собой алгебраически двойное собственное значение с индексом два, если $\Delta=0$ и $|q|+|b|+|c|
eq 0$. Здесь могут быть три случая: (1) $b
eq 0, c=q=0$; (2) $c
eq 0, b=q=0$; (3) $c, b, q$ отличны от нуля и $q^{2}+b c=0$. Эти три случая эквивалентны, так как соответствующие им матрицы $\mathbf{A}(\mu)$ получаются одна из другой посредством преобразования подобия.
В качестве канонического возьмем случай (1) и запишем
\[
[\mathbf{A}(\mu)]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]+\mu\left[\begin{array}{ll}
a^{\prime}(\mu) & b^{\prime}(\mu) \\
c^{\prime}(\mu) & d^{\prime}(\mu)
\end{array}\right],
\]
где $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ и $d^{\prime}$ ограничены при $\mu=0$. Два собственных значения $\mathbf{A}(\mu)$ определяются квадратным уравнением
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
-\sigma+\mu a^{\prime} & 1+\mu b^{\prime} \\
\mu c^{\prime} & -\sigma+\mu d^{\prime}
\end{array}\right]=\sigma^{2}-\sigma \mu\left(a^{\prime}+d^{\prime}\right)+\mu^{2} a^{\prime} d^{\prime}- \\
-\mu c^{\prime}\left(1+\mu b^{\prime}\right)=0 .
\end{aligned}
\]
Поэтому
\[
\begin{aligned}
\sigma_{ \pm}(\mu) & =1 / 2 \mu\left(a^{\prime}+d^{\prime}\right) \pm \sqrt{\mu^{2}\left[\left(a^{\prime}+d^{\prime}\right)^{2} / 4-a^{\prime} d^{\prime}+b^{\prime} c^{\prime}\right]+\mu c^{\prime}}= \\
& = \pm \sqrt{\mu c^{\prime}}+{ }^{1 / 2} \mu\left(a^{\prime}+d^{\prime}\right)+O\left(\mu^{2 / 3}\right),
\end{aligned}
\]
где следует взять одно из двух значений $\sqrt{\mu c^{\prime}}$. Мы видим, что $\sigma_{ \pm}(0)=0$, и отметим, что $\left|d \sigma_{ \pm}(0) / d \mu\right|=\infty$, однако $d \sigma / d \sqrt{\mu}= \pm \sqrt{c^{\prime}}$, если $c^{\prime}$ и $\mu>0$. Существуют два собственных значения, и они являются комплексными, если $\mu c^{\prime}<0$. Поскольку всегда существует положительное собственное значение, если $\mu c^{\prime}>0$, то заключаем, что $\mathbf{u}=0$ неустойчиво, когда $|\mu|$ мало и $\mu c^{\prime}>0$. Так как при $\mu c^{\prime}>0$ имеет место неустойчивость, то устойчивость возможна только при $\mu c^{\prime}<0$, тогда $\sqrt{\mu c^{\prime}}$ – чисто мнимая величина и устойчивость определяется знаком $\mu\left(a^{\prime}+d^{\prime}\right)$. Если $c^{\prime}>0$, то $\mathbf{u}=0$ неустойчиво для малых $\mu>0$ и устойчиво для $\mu<0$, если $a^{\prime}+d^{\prime}>0$. Решение $\mathbf{u}=0$ может быть неустойчивым с обеих сторон от критического значения.
