Определим теперь скалярное произведение
\[
\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\mathbf{x} \cdot \overline{\mathbf{y}}=\langle\overline{\mathbf{y}, \mathbf{x}},
\]
где черта обозначает комплексную сопряженность. A*-матрица, присоединенная к $\mathbf{A}$, если $\langle\mathbf{x}, \mathbf{A} \cdot \mathbf{y}\rangle=\left\langle\mathbf{A}^{*} \cdot \mathbf{x}, \mathbf{y}\right\rangle$ для всех $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^{n}$. Поскольку
\[
\langle\mathbf{y}, \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}\rangle=y_{i} A_{i j} \bar{x}_{j}=\left(\mathbf{A}^{T}\right)_{j i} y_{i} \bar{x}_{j}=\left\langle\mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{y}, \mathbf{x}\right\rangle,
\]
то заключаем, что $\mathbf{A}^{*}=\mathbf{A}^{T}$, где $\mathbf{A}^{T}$ — матрица, транспонированная по отношению к А. Если бы элементы А были комплексными, то мы нашли бы, что $\mathrm{A}^{*}=\overline{\mathbf{A}}^{T}$.
Отметим теперь, что
\[
\langle\mathbf{y},(\mathbf{A}-\sigma \mathbf{I}) \cdot \mathbf{x}\rangle=\left\langle\left(\mathbf{A}^{T}-\bar{\sigma} \mathbf{I}\right) \cdot \mathbf{y}, \mathbf{x}\right\rangle=0
\]
для всех $\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{n}$, если $\mathbf{x}$ — решение (IV.5), и для всех $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$, если $\mathbf{y}$-решение уравнения $\mathbf{A}^{T} \mathbf{y}=\bar{\sigma} \mathbf{y}$ или
\[
\mathbf{A}^{T} \cdot \overline{\mathbf{y}}=\sigma \overline{\mathbf{y}} .
\]
Поскольку
\[
\operatorname{det}\left(\mathbf{A}^{T}-\sigma \mathbf{I}\right)=\operatorname{det}(\mathbf{A}-\sigma \mathbf{I})=P(\sigma),
\]
то присоединенная задача на собственные значения имеет то же самое множество собственных значений.
Пусть $\mathbf{x}_{J}$ и $\mathbf{y}_{J}$ соответствуют собственному значению $\sigma_{J}$. Тогда, сравнивая (IV.5) и (IV.8), получаем
\[
\begin{aligned}
\left(\sigma_{I}-\sigma_{J}\right)\left\langle\mathbf{x}_{I}, \mathbf{y}_{J}\right\rangle & =\left(\sigma_{I}-\sigma_{J}\right) \mathbf{x}_{I} \cdot \overline{\mathbf{y}}_{J}= \\
& =\left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{x}_{I}\right) \cdot \mathbf{y}_{J}-\mathbf{x}_{I} \cdot\left(\mathbf{A}^{T} \cdot \overline{\mathbf{y}}_{J}\right)= \\
& =\left\langle\mathbf{A} \cdot \mathbf{x}_{I}, \mathbf{y}_{J}\right\rangle-\left\langle\mathbf{x}_{I}, \mathbf{A}^{T} \cdot \mathbf{y}_{J}\right\rangle=0,
\end{aligned}
\]
1) Обобщенные собственные векторы часто связывают с матрицами жордановой формы, которые не приводятся к днагональному виду. Мы дадим теорию этих векторов в $\mathbb{R}^{2}$ (настоящая глава) и в $\mathbb{R}^{i}$ (дополнение IV.1). Обобщенные собст* венные векторы играют важную роль в теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Они соответствуют «секулярным» решениям (см., наприmep, Coddington E., Levinson E. and N., Theory of Ordinary Differential Equations (McGraw-Hill, 1955, Chapt. 3) [Имеется перевод: Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, і 958.1
так что каждый собственный вектор матрицы $\mathbf{A}$, соответствующий собственному значению $\sigma_{l}$, ортогонален каждому собственному вектору $\mathbf{A}^{T}$, который соответствует собственному значению $\bar{\sigma}_{J}$, если $\sigma_{l}
eq \sigma_{J}$.
Следовательно,
\[
\left\langle\mathbf{x}_{l}, \mathbf{y}_{J}\right\rangle=0 .
\]
Если $\sigma_{I}=\sigma_{J}$ полупростое с алгебраической кратностью $\mu_{l}=m$, то существуют $\mu_{i}=m$ линейно независимых собственных векторов $\mathbf{x}_{l_{j}}$ и присоединенных собственных векторов $\mathbf{y}_{l j}$, которые можно выбрать так, чтобы
\[
\left\langle\mathbf{x}_{I i}, \mathbf{y}_{l j}\right\rangle=\delta_{i j} \text { для } i, j=1,2, \ldots, m .
\]
Поэтому биортогональные базисы можно выбрать на подпространстве, натянутом на $\mu_{l}=m$ собственных векторов, соответствующих полупростым собственным значениям. Нельзя выбрать биортогональные базисы собственных векторов, есля индекс Риса для $\sigma_{l}$ больше единицы (см. дополнение IV.1).
Если $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{T}$, то задача на собственные значения является самосопряженной. Собственные значения самосопряженных операторов являются вещественными и полупростыми (см. дополнение IV.1).
