Нас интересуют $n T$-периодические решения, где $n \in \mathbb{N}^{*}$ – положительное целое число, ответвляющиеся от нетривиального $T$-периодического решения $\mathbf{U}(t) \in \mathbb{P}_{T}$. Если задача «приведена к локальной форме», как в § 1.3 , то речь идет об исследовании бифуркации решения $\mathbf{u}=0$ эволюционной задачи
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathrm{f}(i, \mu, \mathbf{u}),
\]
где функция $\mathrm{f}(t, \cdot, \cdot)=1(t+T, \cdot, \cdot)$ имеет период $T$ нетривиального решения, от которого она зависит. Наше исследование бифуркации предполагает, что некоторая мера амплитуды решения и мала и $\mathbf{f}$ допускает разложение в окрестности $\mathbf{u}=0$ вида
\[
\begin{aligned}
\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})= & \mathrm{f}_{a}(t, \mu, 0 \mid \mathbf{u})+\frac{1}{2} \mathbf{f}_{a u}(t, \mu, 0|\mathbf{u}| \mathbf{u})+ \\
& +\frac{1}{31} \mathbf{f}_{u u u}(t, \mu, 0|\mathbf{u}| \mathbf{u} \mid \mathbf{u})+O\left(\|\mathbf{u}\|^{4}\right) .
\end{aligned}
\]
Мы будем предполагать, что $\mathfrak{f}$-аналитическая функция от $\mu$ и $\mathbf{u}$ в некоторой окрестности точки ( 0,0 ). Правую часть уравнения (IX.2) можно также разложить по степеням $\mu$ и отбросить члены высокого порядка, которые не влияют на локальный анализ устойчивости и бифуркации:
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{i}(t, \mu, \mathbf{u}) & =\mathfrak{f}_{u}(t \mid \mathbf{u})+\mu \mathfrak{f}_{u \mu}(t \mid \mu)+\frac{1}{2} \mu^{2} \mathbf{f}_{u \mu \mu}(t \mid \mathbf{u})+ \\
& +\frac{1}{2}\left\{\mathbf{i}_{u u}(t|\mathbf{u}| \mathbf{u})+\mu \mathfrak{f}_{u u \mu}(t|\mathbf{u}| \mathbf{u})\right\}+\frac{1}{31} \mathbf{f}_{u u_{u}}(t|\mathbf{u}| \mathbf{u} \mid \mathbf{u})+ \\
& +O\left(|\mu|^{3}\|\mathbf{u}\|+\mu^{2}\|\mathbf{u}\|^{2}+|\mu|\|\mathbf{u}\|^{3}+\|\mathbf{u}\|^{4}\right) .
\end{aligned}
\]
Здесь, как и выше, предполагается, что производные от $\mathbf{f}$ вычисляются в точке $(\mu, \mathbf{u})=(0,0)$ (см. (IX.21)).
Пусть субгармоническое решение с амплитудой в
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=\mathbf{u}(t+n T, \quad \varepsilon), \quad \mathbf{u}(t, 0)=0, \\
\mu=\mu(\varepsilon), \quad \mu(0)=0
\end{array}
\]
ответвляется от решения $\mathbf{u}=0$, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль. Для исследования устойчивости решения (IX.3) по отношению к малым возмущениям $\mathbf{v}$ линеаризуем уравнение (IX.1) и найдем, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d \mathbf{v}}{d t}= & \mathrm{f}_{u}(t, \mu(\varepsilon), \mathbf{u}(t, \varepsilon) \mid \mathbf{v})= \\
= & \mathfrak{f}_{a}(t, \mu(\varepsilon), 0 \mid \mathbf{v})+\mathfrak{f}_{u u}(t, \mu(\varepsilon), 0|\mathbf{u}(t, \varepsilon)| \mathbf{v})+ \\
& +\frac{1}{2} \mathfrak{f}_{n u u}(t, \mu(\varepsilon), 0|\mathbf{u}(t, \varepsilon)| \mathbf{u}(t, \varepsilon) \mid \mathbf{v})+ \\
& +\mathrm{R}(t, \mu(\varepsilon), \mathbf{u}(t, \varepsilon) \mid \mathbf{v}) .
\end{aligned}
\]
Линейный оператор $\mathbf{R}$ не окажет влияния на локальный анализ, потому что он является кубическим относительно $\mathbf{u}$, и, следовательно, имеет третий порядок малости относительно $\varepsilon$.
Для исследования (IX.4) используем метод Флоке (см. § VII.6.2). Нам понадобятся дополнительные сведения из теории устойчивости. Однако для целей настоящего исследования достаточно сделать несколько предварительных замечаний. Для получения спектральной задачи положим
\[
\mathbf{v}(t, \varepsilon)=e^{\gamma(\varepsilon)}{ }^{t} \mathbf{y}(t, \varepsilon),
\]
где $\mathbf{y}(t, \varepsilon) \in \mathbb{P}_{n \tau}$ и
\[
\gamma(\varepsilon) \mathbf{y}+\frac{d \mathbf{y}}{d t}=\mathrm{f}_{t}(t, \mu(\varepsilon), \mathbf{u}(t, \varepsilon) \mid \mathbf{y}) .
\]
В общем случае $\gamma(\varepsilon)$-комплексное число:
\[
\gamma(\varepsilon)=\xi i \varepsilon)+i \eta(\varepsilon) .
\]
При исследовании устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ в качестве параметра предпочтительно использовать $\mu$, а не $\varepsilon$. Положив $\mathbf{v}=e^{\sigma t} \zeta$, получаем спектральную задачу
\[
\sigma(\mu) \xi+\frac{d \xi}{d t}=\mathrm{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \xi), \quad \xi \in \mathbb{P}_{T},
\]
где
\[
\sigma(\mu)=\xi(\mu)+i \eta(\mu) .
\]
Предостерегаем читателя о возможной путанице, которая была бы результатом использования одних и тех же обозначений для вещественных и мнимых частей $\sigma$ и $\gamma$. В действительности нам не понадобятся собственные значения $\gamma(\varepsilon)$ до § IX. 13 .
