Нас интересуют $nT$-периодические решения, где $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ — положительное целое число, ответвляющиеся от нетривиального $T$-периодического решения $\mathbf{U}(t)\in {\mathbb{P}}_T$. Если задача «приведена к локальной форме», как в § 1.3 , то речь идет об исследовании бифуркации решения $\mathbf{u}=0$ эволюционной задачи
$$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=\mathrm{f}(i,\mu ,\mathbf{u}),$$

где функция $\mathrm{f}(t,\cdot ,\cdot )=1(t+T,\cdot ,\cdot )$ имеет период $T$ нетривиального решения, от которого она зависит. Наше исследование бифуркации предполагает, что некоторая мера амплитуды решения и мала и $\mathbf{f}$ допускает разложение в окрестности $\mathbf{u}=0$ вида
$$\begin{array}{rl}\mathbf{f}(t,\mu ,\mathbf{u})=& {\mathrm{f}}_a(t,\mu ,0\mid \mathbf{u})+\frac{1}{2}{\mathbf{f}}_{au}(t,\mu ,0|\mathbf{u}|\mathbf{u})+\\ & +\frac{1}{31}{\mathbf{f}}_{uuu}(t,\mu ,0|\mathbf{u}|\mathbf{u}\mid \mathbf{u})+O(\Vert \mathbf{u}{\Vert }^4).\end{array}$$

Мы будем предполагать, что $\mathfrak{f}$-аналитическая функция от $\mu$ и $\mathbf{u}$ в некоторой окрестности точки ( 0,0 ). Правую часть уравнения (IX.2) можно также разложить по степеням $\mu$ и отбросить члены высокого порядка, которые не влияют на локальный анализ устойчивости и бифуркации:
$$\begin{array}{rl}\mathfrak{i}(t,\mu ,\mathbf{u})& ={\mathfrak{f}}_u(t\mid \mathbf{u})+\mu {\mathfrak{f}}_{u\mu }(t\mid \mu )+\frac{1}{2}{\mu }^2{\mathbf{f}}_{u\mu \mu }(t\mid \mathbf{u})+\\ & +\frac{1}{2}\{{\mathbf{i}}_{uu}(t|\mathbf{u}|\mathbf{u})+\mu {\mathfrak{f}}_{uu\mu }(t|\mathbf{u}|\mathbf{u})\}+\frac{1}{31}{\mathbf{f}}_{u{u}_u}(t|\mathbf{u}|\mathbf{u}\mid \mathbf{u})+\\ & +O(|\mu {|}^3\Vert \mathbf{u}\Vert +{\mu }^2\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2+|\mu |\Vert \mathbf{u}{\Vert }^3+\Vert \mathbf{u}{\Vert }^4).\end{array}$$

Здесь, как и выше, предполагается, что производные от $\mathbf{f}$ вычисляются в точке $(\mu ,\mathbf{u})=(0,0)$ (см. (IX.21)).
Пусть субгармоническое решение с амплитудой в
$$\begin{array}{c}\mathbf{u}(t,\epsilon )=\mathbf{u}(t+nT,\epsilon ),\mathbf{u}(t,0)=0,\\ \mu =\mu (\epsilon ),\mu (0)=0\end{array}$$

ответвляется от решения $\mathbf{u}=0$, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль. Для исследования устойчивости решения (IX.3) по отношению к малым возмущениям $\mathbf{v}$ линеаризуем уравнение (IX.1) и найдем, что
$$\begin{array}{rl}\frac{d\mathbf{v}}{dt}=& {\mathrm{f}}_u(t,\mu (\epsilon ),\mathbf{u}(t,\epsilon )\mid \mathbf{v})=\\ =& {\mathfrak{f}}_a(t,\mu (\epsilon ),0\mid \mathbf{v})+{\mathfrak{f}}_{uu}(t,\mu (\epsilon ),0|\mathbf{u}(t,\epsilon )|\mathbf{v})+\\ & +\frac{1}{2}{\mathfrak{f}}_{nuu}(t,\mu (\epsilon ),0|\mathbf{u}(t,\epsilon )|\mathbf{u}(t,\epsilon )\mid \mathbf{v})+\\ & +\mathrm{R}(t,\mu (\epsilon ),\mathbf{u}(t,\epsilon )\mid \mathbf{v}).\end{array}$$

Линейный оператор $\mathbf{R}$ не окажет влияния на локальный анализ, потому что он является кубическим относительно $\mathbf{u}$, и, следовательно, имеет третий порядок малости относительно $\epsilon$.

Для исследования (IX.4) используем метод Флоке (см. § VII.6.2). Нам понадобятся дополнительные сведения из теории устойчивости. Однако для целей настоящего исследования достаточно сделать несколько предварительных замечаний. Для получения спектральной задачи положим
$$\mathbf{v}(t,\epsilon )=e^{\gamma (\epsilon )}{}^t\mathbf{y}(t,\epsilon ),$$

где $\mathbf{y}(t,\epsilon )\in {\mathbb{P}}_{n\tau }$ и
$$\gamma (\epsilon )\mathbf{y}+\frac{d\mathbf{y}}{dt}={\mathrm{f}}_t(t,\mu (\epsilon ),\mathbf{u}(t,\epsilon )\mid \mathbf{y}).$$

В общем случае $\gamma (\epsilon )$-комплексное число:
$$\gamma (\epsilon )=\xi i\epsilon )+i\eta (\epsilon ).$$

При исследовании устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ в качестве параметра предпочтительно использовать $\mu$, а не $\epsilon$. Положив $\mathbf{v}=e^{\sigma t}\zeta$, получаем спектральную задачу
$$\sigma (\mu )\xi +\frac{d\xi }{dt}={\mathrm{f}}_u(t,\mu ,0\mid \xi ),\xi \in {\mathbb{P}}_T,$$

где
$$\sigma (\mu )=\xi (\mu )+i\eta (\mu ).$$

Предостерегаем читателя о возможной путанице, которая была бы результатом использования одних и тех же обозначений для вещественных и мнимых частей $\sigma$ и $\gamma$. В действительности нам не понадобятся собственные значения $\gamma (\epsilon )$ до § IX. 13 .