Рассмотрим теперь случай (а) из § XI.4. Нуль является двойным (полупростым) собственным значением с индексом, равным единице, оператора $\mathbb{I}=J_{0}$ с двумя независимыми собственными векторами $\boldsymbol{\Gamma}_{00}$ и $\boldsymbol{\Gamma}_{01}$ и двумя независимыми сопряженными собственными векторами $\Gamma_{00}^{*}$ и $\Gamma_{01}^{*}$, удовлетворяющими условиям биортогональности (XI.21). Будем искать субгармоническое решение $\psi(s, \alpha)=\Psi(s+2 \pi, \alpha)$ и частоту $\Omega(\alpha)$ в виде рядов (XI.49), где $\alpha=\left[\mathbf{Y}(s, \alpha), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}$ есть амплитуда. После вычислений, аналогичных приведенным в § XI.10, уравнение (XI.54) принимает вид
\[
\left(\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}\right) \Gamma_{00}=J_{0} \mathrm{Y}^{(1)} .
\]

Так как. $\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(1)}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=0$, а $\left[\Gamma_{00}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=1$, то находим, что
\[
\Omega^{(1)}=\omega^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\omega_{1}} \text {. }
\]

Кроме того, так как $J_{0} \mathbf{Y}^{(\mathbf{1})}=0$, а $\boldsymbol{\Gamma}_{00}$ и $\boldsymbol{\Gamma}_{01}$ – независимые собственные векторы оператора $J_{0}$, то $\mathbf{Y}^{(1)}$ можно представить в виде линейной комбинации $C_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{00}{ }^{0}+C_{2} \boldsymbol{\Gamma}_{01}$. Однако из условия (XI.51), (с $Z_{0}^{*}=\Gamma_{00}^{*}$ ) следует, что $C_{1}=0$; из условия (XI.51) и и (XI.45) (с $\mathbf{Z}_{1}^{*}=\Gamma_{01}^{*}$ ) получаем, что $C_{2}=1$. Поэтому
\[
Y^{(1)}=\Gamma_{01} .
\]

Снова проводя вычисления, аналогичные приведенным в § XI.10, находим, что уравнение (XI.59) с учетом (XI.63), (XI.89) и (XI.90) принимает вид
\[
\begin{array}{r}
\left(\omega^{(2)}-\Omega^{(2)}\right) \Gamma_{00}=J_{0} \mathbf{Y}^{(2)}+2 \mu^{(1)}\left(y \Gamma_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}\right)-\mathrm{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathrm{U}_{0}\left|\Gamma_{01}\right| \Gamma_{01}\right) . \\
(\mathrm{XI} .9])_{i}
\end{array}
\]

Необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (XI.91) имеют вид
\[
\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(2)}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(2)}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0 .
\]

Второе из этих условий приводит к уравнению
\[
2 \mu^{(1)} \gamma_{1}^{(2)}-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{01}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0,
\]

где в соответствии с (XI.27)
\[
\gamma_{1}^{(2)}=\left[y \Gamma_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}>0 .
\]

Поэтому уравнение (XI.92) дает $\mu^{(1)}$. С другой стороны, первое условие разрешимости приводит к уравнению
\[
\begin{array}{c}
\omega^{(2)}-\Omega^{(2)}=-\left[\mathbf{F}_{v v},\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\Gamma_{01}\right| \Gamma_{01}\right), \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}+ \\
+2 \mu^{(1)}\left[\mathcal{Y} \Gamma_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi} .
\end{array}
\]

Чтобы вычислить $\Omega^{(q)}$, нам потребуется значение
\[
\omega^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\omega}_{1}+\left(\mu^{(1)}\right)^{2} \hat{\omega}_{2} .
\]

Оставляем читателю в качестве упражнения детализацию алгоритма вычисления $\mu^{(2)}$ из уравнения для $\mathbf{Y}^{(3)}$.