Мы приступаем к исследованию бесконечномерных задач, в частности описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных и других задач, которые можно рассматривать с помощью эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве, как если бы они были в $\mathbb{R}^{n}$. Наша цель-показать, что для широкого класса задач высокой размерности бифуркация происходит в пространствах небольшой размерности, $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$ или $\mathbb{R}^{2}$, и поэтому мы можем проектировать эти задачи в просгранство малой размерности. $\mathbb{R}^{n}$ мы используем операторные обозначения, формально тождественные обозначениям, применяемым при исследовании эволюционного уравнения в гильбертовом пространстве; все формальные операции те же самые. Поэтому результаты, полученные в $\mathbb{R}^{n}$, справедливы для широкого класса задач в гильбертовом пространстве ${ }^{11}$. Тогда остается только показать, что некоторая граничная задача может быть сформулирована как эволюционное уравнение в подходящем гильбертовом пространстве. Такая процедура вполне рутинна для многих часто встречающихся задач континуальной физики, но во всяком случае выходит за рамки этой элементарной книги.
1) По существу такие же результаты справедливы для задач, в более общей форме описываемых эволюционными уравнениями в банаховых пространствах. Действительно важное свойство, без которого нельзя обойтись, -это альтернатива Фредгольма для разрешимости возмущенных уравнений. В первом примере дополнения VI. 1 рассматривается интегрю-дифференциальное у равнение, не вписывающееся в рамки гильбертовых пространств, для которого альтернатива Фредгольма выполняется. Фактически именно на альтернативе Фредгольма основано
В дополнении VI. 1 мы дадим несколько примеров формального построения, которые показывают, как следует применять эту теорию для дифференциальных уравнений с частными производными и для интегральных уравнений.
В дальнейшем под $H$ будем понимать множество векторов $\mathbf{u}$, для которых эволюционная задача вполне определена. Например, для системы в $\mathbb{R}^{n} H=\mathbb{R}^{n}$; для эволюционного дифференциального уравнения в частных производных $H$ является множеством всех функций, удовлетворяющих граничным условиям и обладающих достаточной гладкостью, обеспечивающей существование пространственных производных и выполнение определенных свойств $\mathbf{f}(\mu, \cdot)$.
Далее будем считать, что $H$ – пространство Гильберта. Но тогда, помимо прочего, это есть векторное пространство со скалярным произведением $\left\langle\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\rangle$, где $\mathbf{u}_{1}$ и $\mathbf{u}_{2}$ суть элементы $H$, которое можно распространить на комплексные элементы, $\left\langle\overline{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}}\right\rangle=\left\langle\mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{1}\right\rangle$; оно, вообще говоря, обладает свойствами скалярного произведения (см. § IV.3) в $\mathbb{C}^{n}$.
Рассмотрим линейный оператор $\mathbf{~}$ со значениями в $H$, областью определения которого является некоторое плотное подмножество в $H$, как в случае дифференциальных уравнений с частными производными. (Если $H=\mathbb{R}^{n}$, то А определен для всех элементов из $H$ и может быть выражен при помощи ( $n \times n$ )-матрицы.) В общем случае спектральная задача
\[
\text { А. } \zeta=\sigma \xi \text { для } \xi \text { из } H
\]
имеет смысл и определяет собственные значения $\sigma$ и собственные векторы $\zeta$. В простейших случаях все значения $\sigma$, для которых (VI.39) имеет ненулевые решения, являются изолированными, алгебраически простыми собственными значениями. Трудность состоит в том, что в $H$ могут существовать бесконечно много собственных значений и даже континуум. Даже в случае, если исключить континуальные собственные значения, может случиться, что все решения линейной эволюционной задачи
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{v} \text { в } H
\]
нельзя представить линейными комбинациями (даже бесконечными комбинациями) членов, пропорциснальных $e^{\sigma_{n} t} \zeta_{n}$. В наиболее простом случае, когда спектр состоит из простых собственных значений
утверждение, что для тех задач, для которых она справедлива и действие переносится в нуль-пространство некоторого линейного оператора, та часть задачи, проекция которой в нуль-пространство нулевая, подобна маленькому хвосту резвой собаки. Поэтому ни в каком смысле использование здесь гильбертова пространства не является существенным; это лишь один из способов показать, что анализ, проводимый нами в $R^{n}$, справедлив и в более общем случае, например в гильбертовом пространстве.
и А удовлетворяет другим требованиям, часто встречающимся в приложениях (например, в $\mathbb{R}^{n}$ и для полей, определенных на ограниченных областях пространства, которые описываются уравнениями типа реакции-диффузии или типа уравнений Навье-Стокса), решения можно представить такими линейными комбинациями, как в (VI.57).
На самом деле наша теория имеет бо́льшую область применения; мы не требуем, чтобы решения можно было представить в виде таких линейных комбинаций. Достаточно, чтобы эволюционная задача обладала одним решением вида $e^{\sigma_{1} t \xi}$, где $\sigma_{1}$-изолированное собственное значение, обладающее следующими свойствами.
(1) Не существует значений $\sigma$, для которых уравнение (VI.39) имело бы ненулевые решения и вещественная часть которых была бы больше, чем $\sigma_{1}$.
(2) $\sigma_{1}$ имеет конечную кратность и конечный индекс Риса (определения индекса и кратности даны в гл. IV).
(3) Свойствами (1) и (2) должны обладать собственные значения $\bar{\sigma}$ сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$, удовлетворяющего условию
\[
\langle\mathbf{A} \cdot \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\left\langle\mathbf{u}, \mathbf{A}^{*} \cdot \mathbf{v}\right\rangle
\]
для всех $\mathbf{u}$ из области определения оператора $\mathbf{A}$ и всех $\mathbf{v}$ из области определения оператора $\mathbf{A}^{*}$.
Тогда, как и в дополнении IV.1, можно найти в $H$ элементы $\left\{\boldsymbol{\psi}_{i}\right\}_{i=1}, \ldots, n,\left\{\boldsymbol{\psi}_{i}^{*}\right\}_{i=1}, \ldots, n$, удовлетворяющие соотношениям
\[
\begin{array}{l}
(\sigma \mathbf{I}-\mathbf{A}) \cdot \boldsymbol{\psi}_{i}=0, \\
\left(\bar{\sigma} \mathbf{I}-\mathbf{A}^{*}\right) \boldsymbol{\psi}_{i}^{*}=0,
\end{array}
\]
и
\[
\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*}\right\rangle=\delta_{i j},
\]
где $n$-кратность собственного значения, а $v$-его индекс Риса. Кроме того, как в дополнении VI.2, можно определить проекцию P:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{P} \cdot \mathbf{u}=\sum_{i=1}^{n}\left\langle\mathbf{u}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{i}, \\
\mathbf{P} \cdot \mathbf{P} \cdot \mathbf{u}=\mathbf{P} \cdot \mathbf{u}, \mathbf{P} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{u}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{P} \cdot \mathbf{u}
\end{array}
\]
для любого и в $H^{1}$ ). Действительно, (VI.43) и (VI.44) выражают фундаментальные свойства проекций в общем случае.
Во всех наших задачах кратность и индекс Риса не будут больше двух, и поэтому размерность проекции $\mathbf{P}$ будет равна единице или двум. В этих задачах часто удобнее оперировать с компонентами $\left\langle\mathbf{u}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*}\right\rangle$ проекции, чем с самой проекцией.
$\left.{ }^{1}\right)$ В области определения оператора $\mathbf{A}$ для P.A.u.
