B $\mathbb{R}^{2} \mathbf{x}$-двумерный вектор, а $\mathbf{A}(\mu)-(2 \times 2)$-матрица. Предположим, что $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ – простые собственные значения $\mathbf{A}(\mu)$. Существуют два собственных вектора. Пусть $\mathrm{x}_{1}$ – собственный вектор, соответствующий собственному значению $\sigma_{1}$, а $\mathbf{x}_{2}$-собственный вектор, отвечающий $\sigma_{\mathbf{a}}$, и пусть $\mathbf{v}_{J}=e^{\sigma_{J} t} \mathbf{x}_{J}, J=1,2$. Тогда
\[
\frac{d \mathbf{v}_{J}}{d t}=\sigma_{J} \mathbf{v}_{J} .
\]

На основе (IV.22) можно построить на плоскости картину геометрических свойств равновесных гочек. Следует рассмотреть три случая.
(1) $\sigma_{J}(\mu)=\xi_{J}(\mu)$ суть вещественные и $\xi_{1}(\mu)$ и $\xi_{2}(\mu)$ имеют один знак. По построению $\mathbf{v}_{\mathbf{1}}$ и $\mathbf{v}_{2}$ – вещественные независимые векторы.

Pис. IV.1. Траектории вблизи равновесяой точки в $\mathbb{R}^{2}$ для вещественного $\sigma_{J}(\mu)$ (a) Устойчивый узел; (б) Неустойчивый узел; (в) Седло.

Если $\xi_{1}(\mu)$ и $\xi_{2}(\mu)$ отрицательные, то $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ стремятся к 0 и тогда 0 называется устойчивым узлом. В другом случае $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ покидают 0 и 0 называется неустойчивым узлом (см. рис. IV.1).

Pис. IV.2. Траекіории вблизи равновесной точки в $R^{2}$ для комплексного $\sigma_{J}(\mu)$. (a) Устойчивый фокус, $\xi(\mu)<0$; (6) Неустойчивый фокус, $\xi(\mu)>0$.
(2) $\sigma_{J}(\mu)=\xi_{J}(\mu)$ и $\xi_{1}(\mu)$ и $\xi_{2}(\mu)$ имеют разные знаки. Тогда 0 есть седловая точка, одна из двух траекторий приближается к 0 , а другая уходит от 0 (см. рис. IV.I). Седловая точка всегда неустойчива.
(3) Два собственных значения комплексные:
\[
\sigma_{1}=\xi(\mu)+i \eta(\mu)=\bar{\sigma}_{2},
\]

а собственные векторы обладают свойством $\mathrm{v}_{1}=\overline{\mathrm{v}}_{2}$.

Общее решение (IV.3) принимает вид
\[
\mathbf{v}(t)=\operatorname{Re}\left(\alpha e^{\sigma_{1} t} \mathbf{v}_{1}\right)=1 / 2\left[\alpha e^{\sigma_{1} t} \mathbf{v}_{1}+\bar{\alpha} e^{\sigma_{2} t} \mathbf{v}_{2}\right] .
\]

Это решение можно также записать в форме
\[
\mathbf{v}(t)=e^{\xi(\mu) t}\left[\operatorname{Re}\left(\alpha \mathbf{v}_{1}\right) \cos (\eta(\mu) t)-\operatorname{Im}\left(\alpha \mathbf{v}_{1}\right) \sin (\eta(\mu) t)\right] .
\]

Траектории (IV.23) показаны на рис. IV.2. Точка $\mathbf{v}=0$ – устойчивый фокус, если $\xi(\mu)<0$, и неустойчивый фокус, если $\xi(\mu)>0$.