Почти-периодические функции являются обобщением периодических функций, сохраняющим свойство полноты рядов Фурье. Почтипериодическая функция на прямой $-\infty<x<\infty$ может извиваться более или менее произвольно, но таким образом, что всякое значение этой функции весьма точно повторяется по крайней мере один раз на каждом достаточно большом, но конечном интервале.
(Комплексная) непрерывная функция $f(t)(-\infty<t<\infty)$ называется почти-периодической, если для любого $\varepsilon>0$ существует $l=l(\varepsilon)>0$ такое, что всякий вещественный интервал длины $l(\varepsilon)$ содержит, по крайней мере, одно число $\tau$, для которого $\mid f(t+\tau)$ $-f(t) \mid \leqslant \varepsilon$. Всякое такое $\tau$ называется числом переноса. Если $\varepsilon=0$, то $f(t)$ является периодической функцией, а $\tau$-периодом.

Квазипериодической функцией от $n$ переменных называется функция $g\left(\omega_{1} t, \omega_{2} t, \ldots, \omega_{n} t\right)=f(t)$, содержащая конечное число $n$ рациональных независимых частот $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}$, которая является периодической с периодом $2 \pi$ по каждой из ее переменных. Все квазипериодические функции являются почти-периодическими; в наиболее общем случае $n$ равно $\infty$. Например, функция $g\left(\omega_{1} t, \omega_{2} t\right)=\cos t \cos \pi t=$ $=f(t)$ есть квазипериодическая функция с двумя частотами $\omega_{1}=2 \pi$, $\omega_{2}=2$. Значение $f(t)=1$ достигается, если $t=0$ и никогда не повторяется; несмотря на то что $g(t)<1$, если $t
eq 0$, всегда существует $t(\varepsilon)>0$ такое, что $|f(t)-f(0)|<\varepsilon$ для заданного $\varepsilon>0$.
Решение $\mathbf{v}(t)=\mathbf{Z}(t)$
\[
\mathbf{Z}(t)=e^{i \omega_{0} t} \zeta(t)=\mathrm{g}\left(\omega_{0} t, \frac{2 \pi}{T} t\right)
\]

линеаризованного уравнения (IX.10) в критической точке $(d \mathbf{Z} / d t=$ $=\mathrm{f}_{u}(t \mid \mathbf{Z})$ ) является квазипериодическим, если $\omega_{0} T /(2 \pi)$-иррациональное число. Если $\omega_{0} T /(2 \pi)$ – рациональное число, то $\omega_{0}$ и $2 \pi / T$ рационально зависимы и решение является периодическим с периодом, кратным T. Множество точек $\omega_{0}$ на интервале (IX.26), для которых $\omega_{0}$ и $2 \pi / T$ рационально зависимы, называются рациональными точками в критическом случае. Эти точки образуют плотное множество на интервале (IX.26). Множество точек, для которых $\omega_{0}$ и $2 \pi / T$ рационально независимы, называются иррациональными точками в критическом случае.

Рациональные точки отношения частот в критическом случае обязательно имеют вид
\[
0 \leqslant \frac{\omega_{0} T}{2 \pi}=\frac{m}{n}<1, \quad n
eq 0,
\]

где $m$ и $n$-целые числа, а $m / n$-дробь. Субгармоническое решение представляет собой $n T$-периодическое решение с $n \geqslant 1$. Решение (IX.27) будет субгармоническим, если $\omega_{0}$-рациональная точка. Всякое $n T$-периодическое решение (IX.27) удовлетворяет соотношению
\[
e^{i \omega_{0}(t+n T)} \xi(t+n T)=e^{i \omega_{0} t} \xi(t) .
\]

Поэтому $e^{i \omega_{0} n T}=1$ и $\omega_{0} n T=2 \pi m$, где $\omega_{0}$ удовлетворяет неравенству (IX.26). Поскольку
\[
\lambda_{0}^{n}=\left(e^{i \omega_{0} T}\right)^{n}=\left(e^{2 \pi i m / n}\right)^{n}=1=\bar{\lambda}_{0}^{n},
\]

то $\lambda_{0}$ и $\bar{\lambda}_{0}$ суть корни из единицы, если $\omega_{0}$-рациональная точка. Имеются две рациональные точки, для которых $\lambda_{0}=\bar{\lambda}_{0}$ – вещественное число: $m / n=0 / 1, \lambda_{0}=1$ и $m / n=1 / 2, \lambda_{0}=-1$. Если $m / n=0 / 1$, то субгармоническое решение (IX.27! является $T$-периодическим. Если $m / n=1 / 2$, то субгармоническое решение (IX.27) будет $2 T$-периодическим.