Теорема 1. (Теорема о факторизации.) Для каждого равновесного решения $F(\mu, \varepsilon)=0$, для которого $\mu=\mu(\varepsilon)$, имеем
\[
\sigma(\varepsilon)=F_{\varepsilon}(\mu(\varepsilon), \varepsilon) \stackrel{\text { del }}{=}-\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon) \stackrel{\text { def }}{=}-\mu_{\varepsilon} \hat{\sigma}(\varepsilon) .
\]

Доказательство теоремы 1 следует из уравнения
\[
\frac{d F(\mu(\varepsilon), \varepsilon)}{d \varepsilon}=F_{\varepsilon}\left(\mu(\varepsilon), \varepsilon j+\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)=0 .\right.
\]

Этот тип факторизации может быть установлен для анализа устойчивости бифуркационных решений в пространствах более сложных, чем $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$. Однако эта теорема наиболее проста для понимания в $\mathbb{R}^{1}$. Одно из основных следствий теоремы о факторизации состоит в том, что $\sigma(\varepsilon)$ должно изменять знак, когда \& проходит значение, соответствующее регулярной экстремальной точке. Отсюда следует, что решение $u=$ $=\varepsilon, \quad \mu=\mu(\varepsilon)$ устойчиво с одной стороны от регулярной экстремальной точки и неустойчиво с другой стороны (рис. II.1).
Рис. II.1. Смена устойчивости в регулярной экстремальной точке.
Следствие 1. (А) Всякая точка $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ кривой $\mu=\mu(\varepsilon)$, для которой $\hat{\sigma}\left(\varepsilon_{0}\right)=0$, является особой точкой. (Б) Всякая точка $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ кривой $\varepsilon(\mu)$, для которой $\sigma\left(\mu_{0}\right)=0$, является особой точкой.

Доказательство утверждения (А) следует из (II.44), а доказательство утверждения (Б) – из соотношений
\[
\sigma(\mu)=F_{\varepsilon}(\mu, \varepsilon(\mu)), \frac{d F}{d \mu}=F_{\mu}+\varepsilon_{\mu} F_{\varepsilon}=0 .
\]