Для построения линейной теории сообщим равновесному решению малое начальное возмущение. Если возмущение растет, то равновесное решение неустойчиво, а если оно затухает, то равновесное решение устойчиво по отношению к малым возмущениям. Оно может быть неустойчиво по отношению к большим возмущениям; однако если оно устойчиво по отношению к малым возмущениям, то не существует другого равновесного решения эволюционной задачи, близкого к рассматриваемому решению. Поскольку решения, которые ответвляются от данного решения, непрерывны по $\mu$, то часто (но не всегда) справедливо заключение о том, что необходимым условием бифуркации является неустойчивость равновесного ренения по отношению к бесконечно малым возмущениям. (Это необходимое условие верно для бифуркации с простым собственным значением.) Теория устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям является линейной, потому что квадратичными членами в возмущенных уравнениях пренебрегают по сравнению с линейными членами.

Пусть, например, $\tilde{\mathbf{U}}(t, \mu)$ – решение (I.12), а $\delta \mathbf{v}$ – возмущение $\tilde{\mathbf{U}}$, где $\delta$-постоянная. Тогда
\[
\delta \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}}(t, \mu)+\delta \mathbf{v}(t))-\mathbf{F}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}}),
\]

и поэтому
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t} \cong\left[\frac{d}{d \delta} \mathbf{F}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}}+\delta \mathbf{v})\right]_{\delta=0} \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{F}_{\mathbf{U}}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}} \mid \mathbf{v}),
\]

где $\mathbf{F}_{\mathbf{U}}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}} \mid \cdot)$ – линейный оператор, линейный относительно переменной, стоящей после вертикальной черты, который называется производной или линеаризацией $\mathbf{F}$, вычисленной для $\tilde{\mathbf{U}}(t, \mu)$. Точно так же $\mathbf{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \cdot)$ – производная от $\mathbf{f}$, вычисленная для решения $\mathbf{u}=0$, и
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \mathbf{v})
\]

определяет линеаризованное уравнение, приведенное к локальной форме. Для упрощения обозначений будем писать
\[
\mathbf{f}_{u}(t, \mu \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \cdot) .
\]

Решение $\mathbf{u}=0$ (I.14) называется асимптотически устойчивым, если $\mathbf{v} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ (см. §ІІ.7).