Мы уже сделали предположение о том, что решение $\mathbf{u}=0$ уравнения (VII.1) теряет устойчивость, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль, и $\xi_{\mu}(0)>0$. Поэтому ветви, для которых $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \varepsilon>0$, устойчивые, а ветви, для которых $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \varepsilon<0$, неустойчивые. Имеются две возможности, когда $\varepsilon$ мало: суперкритическая бифуркация (рис. VII.2(а)) или субкритическая бифуркация (рис. VII.2(б)). Транскритические периодические бифуркации, как на рис. II.3, невозможны, потому что $\mu(\varepsilon)=\mu(-\varepsilon)$.

Пример VII.1. (Теорема о факторизации и повторное ветвление периодических решений.) Пусть $F(\mu, V)$ и $\omega(V)$ суть аналитические функции от $\mu$ и $V$, такие что $\omega(0)=1, F(\mu, 0)=0, F(0, V)
eq 0$, если $V
eq 0, F_{V}(\mu, 0) \lessgtr 0$, если $\mu \lessgtr 0$. Рассмотрим следующую задачу:
\[
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=F\left(\mu, x^{2}+y^{2}\right)\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]+\omega\left(x^{2}+y^{2}\right)\left[\begin{array}{rr}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] .
\]

Каждое решение (VII.47) удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d t}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2\left(x^{2}+y^{2}\right) F\left(\mu, x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Вблизи $x^{2}+y^{2}=0$ имеем $F\left(\mu, x^{2}+y^{2}\right) \sim F_{V}(\mu, 0)\left(x^{2}+y^{2}\right)$, и поэтому решение $x^{2}+y^{2}=0$ устойчиво, если $\mu<0$, и неустойчиво, если $\mu>0$. Решение $x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2}$ с постоянным радиусом ответвляется в точке $(\mu, \varepsilon)=(0,0)$. Это решение существует, если зависимость $\mu=\mu\left(\varepsilon^{2}\right)$ определяется из уравнения
\[
F\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)=0,
\]

и оно дается формулами
\[
\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
X \\
Y
\end{array}\right]=\boldsymbol{\varepsilon}\left[\begin{array}{l}
\cos s \\
\sin s
\end{array}\right]=\mathbf{X}, \quad s=\omega\left(\varepsilon^{2}\right) t .
\]

Малые возмущения $\psi=x^{2}+y^{2}-\varepsilon^{2}$ решения (VII.50) удовлетворяют уравнению $\dot{\psi}=2 \varepsilon^{2} F_{V}\left(\mu\left(\varepsilon^{2}\right), \varepsilon^{2}\right) \psi$. Решение $x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2}$ устойчиво (неустойчиво), если $F_{V}\left(\mu\left(\varepsilon^{2}\right), \varepsilon^{2}\right)<0(>0)$. Интересно сформулировать задачу Флоке об устойчивости бифуркационного решения (VII.50).

Находим, что малые возмущения $\varphi(t)=e^{\gamma t} \boldsymbol{\Gamma}(s), s=\omega\left(\varepsilon^{2}\right) t$ peшения (VII.50) описываются задачей
\[
-\gamma \Gamma+y(\varepsilon) \Gamma=0, \quad \boldsymbol{\Gamma}(s)=\boldsymbol{\Gamma}(s+2 \pi),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
y(\varepsilon)=-\omega\left(\varepsilon^{2}\right) \frac{d}{d s}+J(\varepsilon) \\
J(\varepsilon)=2 \varepsilon^{2} F_{V}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)\left[\begin{array}{cc}
\cos ^{2} s & \sin s \cos s \\
\sin s \cos s & \sin ^{2} s
\end{array}\right]- \\
-2 \varepsilon^{2} \omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)\left[\begin{array}{cc}
\sin s \cos s & \sin ^{2} s \\
-\cos ^{2} s & -\sin s \cos s
\end{array}\right]+\omega\left(\varepsilon^{2}\right)\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right], \\
\omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)=\frac{d \omega\left(\varepsilon^{2}\right)}{d \varepsilon^{2}} .
\end{array}
\]

Легко проверить, что $\dot{\mathbf{X}} \equiv d \mathbf{X} / d s$ является решением спектральной задачи (VII.51) с $\gamma=0$. Это решение и решение $\mathbf{X}_{\varepsilon} \equiv d \mathbf{X} / d \varepsilon$ независимы.

Задача
\[
-\gamma \bar{\Gamma}^{*}+y * \bar{\Gamma}^{*}=0, \quad \bar{\Gamma}^{*}(s)=\bar{\Gamma}^{*}(s+2 \pi),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
y^{*}(\varepsilon)=\omega\left(\varepsilon^{2}\right) \frac{d}{d s}+J^{*}(\varepsilon), \\
J^{*}(\varepsilon)=2 \varepsilon^{2} F_{V}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)\left[\begin{array}{cc}
\cos ^{2} s & \sin s \cos s \\
\sin s \cos s & \sin ^{2} s
\end{array}\right]- \\
-2 \varepsilon^{2} \omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)\left[\begin{array}{cc}
\sin s \cos s & -\cos ^{2} s \\
\sin ^{2} s & -\sin s \cos s
\end{array}\right]+\omega\left(\varepsilon^{2}\right)\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right],
\end{array}
\]

является сопряженной по отношению к задаче (VII.51).
Поскольку уравнение (VII.47) удовлетворяет всем условиям бифуркации Хопфа, то применима теорема о факторизации. Факторизацию можно представить следующим образом:
\[
\left[\begin{array}{l}
\Gamma_{1} \\
\Gamma_{2}
\end{array}\right]=b\left\{\frac{2 \varepsilon \omega^{\prime}}{\gamma}\left[\begin{array}{l}
\dot{X} \\
\dot{Y}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
X_{\varepsilon} \\
Y_{\varepsilon}
\end{array}\right]+2 \varepsilon \mu_{\varepsilon}\left[\begin{array}{l}
q_{1} \\
q_{2}
\end{array}\right]\right\},
\]

и
\[
\gamma\left(\varepsilon^{2}\right)=2 \varepsilon^{2} F_{V}\left(\mu\left(\varepsilon^{2}\right), \varepsilon^{2}\right)=-\varepsilon \mu_{\varepsilon} F_{\mu}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right) .
\]

Подставляя (VII.53) и (VII.54) в (VII.51), находим, что
\[
-\left(\hat{\gamma} \mathbf{X}_{\varepsilon}+F_{\mu}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right) \mathbf{X}\right)+2 \varepsilon\{-\gamma \mathbf{q}+
ot{y}(\varepsilon) \mathbf{q}\}=0 .
\]

Уравнение (VII.55) можно упростить, положив $\mathbf{X}=\varepsilon \mathbf{X}_{\varepsilon}$.
Теперь мы отметим, что если $\varepsilon
eq 0$ мало́, то $\gamma\left(\varepsilon^{2}\right)$ является простым собственным значением задачи (VII.51). (Это следует из локального анализа бифуркации Хопфа.) Из теории Фредгольма следует, что уравнение (VII.55) имеет единственное решение, принадлежащее пространству, дополнительному к нулевому пространству оператора $-\gamma+\mathcal{y}(\varepsilon)$, тогда и только тогда, когда
\[
\left(\hat{\gamma}+\varepsilon F_{\mu}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)\right) \int_{0}^{2 \pi}\left(\Gamma_{1}^{*} \cos s+\Gamma_{2}^{*} \sin s\right) d s=0 .
\]

Более того, нетрудно проверить, что
\[
\left[\begin{array}{c}
\Gamma_{1}^{*} \\
\Gamma_{2}^{*}
\end{array}\right]=C_{i}\left[\begin{array}{c}
\cos s \\
\sin s
\end{array}\right]
\]

если выполняются условия (VII.54). Поэтому
\[
\hat{\gamma}=-\varepsilon F_{\mu}\left(\mu\left(\varepsilon^{2}\right), \varepsilon^{2}\right)
\]

и все решения задачи (VII.55) с $\eta=2 \varepsilon^{2} F_{V}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)$ пропорциональны $\Gamma$ и $q_{1}=q_{2}=0$.

Возвращаясь теперь к задаче (VII.53) с $\gamma=-\mu_{\varepsilon} \varepsilon F_{\mu}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)=$ $=-2 \mu^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right) \varepsilon^{2} F_{\mu}\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)$, имеем
\[
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{l}
\Gamma_{1} \\
\Gamma_{2}
\end{array}\right] } & =\frac{-\omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)}{\varepsilon \sqrt{\omega^{\prime 2}+\mu^{\prime 2} F_{\mu}^{2}}}\left[\begin{array}{l}
\dot{X} \\
\dot{Y}
\end{array}\right]+\frac{\mu^{\prime} F_{\mu}}{\sqrt{\omega^{\prime 2}+\mu^{\prime 2} F_{\mu}^{2}}}\left[\begin{array}{l}
X_{\varepsilon} \\
Y_{\varepsilon}
\end{array}\right]= \\
& =\frac{-\omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)}{\sqrt{\omega^{\prime 2}+\mu^{\prime 2} F_{\mu}^{2}}}\left[\begin{array}{r}
-\sin s \\
\cos s
\end{array}\right]+\frac{\mu^{\prime} F_{\mu}}{\sqrt{\omega^{\prime 2}+\mu^{\prime 2} F_{\mu}^{2}}}\left[\begin{array}{l}
\cos s \\
\sin s
\end{array}\right],
\end{aligned}
\]

где $\mu^{\prime} F_{\mu}=\mu^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right) F_{\mu}\left(\mu\left(\varepsilon^{2}\right), \varepsilon^{2}\right)$.
Интересно даль анализ устойчивости решения (VII.50) с другой точки зрения, используя матрицу монодромии, ее собственные значения и множители Флоке. Малое возмущение $\varphi$ решения $\mathbf{X}$ удовлетворяет уравнению
\[
-\dot{\varphi}+J(\varepsilon) \varphi=0 .
\]

Существуют только два независимых решения $\varphi^{(1)}$ и $\varphi^{(2)}$ уравнения (VII.59). Выберем $\varphi^{(1)}$ и $\varphi^{(2)}$ так, чтобы фундаментальное матричное решение
\[
\boldsymbol{\Phi}(t)=\left[\begin{array}{ll}
\varphi_{1}^{(1)}(t) & \varphi_{1}^{(2)}(t) \\
\varphi_{2}^{(1)}(t) & \varphi_{2}^{(2)}(t)
\end{array}\right]
\]

удовлетворяло начальному условию $\Phi(0)=\mathbf{I}$, где $\mathbf{I}$-единичная матрица. Имеем
\[
\varphi^{(1)}(t)=-\frac{\omega^{\prime}}{F_{V}}\left(1-e^{\gamma t}\right)\left[\begin{array}{r}
-\sin s \\
\cos s
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
\cos s \\
\sin s
\end{array}\right] e^{\gamma t}, \quad s=\omega t,
\]

где $\gamma$ удовлетворяет уравнению (VII.54) и
\[
\varphi^{(2)}(t)=\left[\begin{array}{r}
-\sin s \\
\cos s
\end{array}\right]=\frac{1}{\varepsilon} \dot{\mathbf{X}}(s), \quad s=\omega t .
\]

Множители Флоке $\lambda$ являются собственными значениями матрицы монодромии $\Phi(2 \pi / \omega)$, т. е. матрицы
\[
\left[\begin{array}{ll}
\varphi_{1}^{(1)}\left(\frac{2 \pi}{\omega}\right) & \varphi_{1}^{(2)}\left(\frac{2 \pi}{\omega}\right) \\
\varphi_{2}^{(1)}\left(\frac{2 \pi}{\omega}\right) & \varphi_{2}^{(2)}\left(\frac{2 \pi}{\omega}\right)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
e^{2 \pi
u / \omega} & 0 \\
-\frac{\omega^{\prime}}{F_{V}}\left(1-e^{2 \pi \gamma / \omega}\right) & 1
\end{array}\right] .
\]

Отсюда следует, что $\lambda=1$ и $\lambda=e^{\imath \pi \gamma / \omega}$ являются алгебраически простыми собственными значениями матрицы монодромии, если $e^{2 \pi \gamma / \omega}
eq 1$, и представляют собой алгебраически двойное собственное значение, если $\gamma=2 \varepsilon^{2} F_{V}=0$. Если $\gamma=0$, то по-прежнему существуют два фундаментальных решения уравнения (VII.59): $\varphi^{(2)}$ и
\[
\varphi^{(1)}(t)=2 \varepsilon^{2} \omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right) t\left[\begin{array}{r}
-\sin s \\
\cos s
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
\cos s \\
\sin s
\end{array}\right] .
\]

Из них только $\varphi^{(2)}$ является $2 \pi$-периодическим вектором. Поскольку $\varphi^{(2)}=\dot{\mathbf{X}} / \varepsilon$, то $\boldsymbol{y}(\dot{\mathbf{X}})=0$, если $\gamma=0$, и $\mathcal{y}\left(\mathbf{X}_{\varepsilon} / \omega_{\varepsilon}\right)=\dot{\mathbf{X}}$. Поэтому если $\gamma=0$, то мы имеем двухзвенную цепь Жордана в рамках теоремы, которая будет сформулирована и доказана в конце § VIII.4.
Этот пример обнаруживает следующие свойства.
1. Он обладает бифуркацией Хопфа при $\varepsilon=0$.
2. Теорема о факторизации имеет место для всех значений $\varepsilon$, для которых определены $\omega$ и $F$ и их первые производные.
3. $F\left(\mu, \varepsilon^{2}\right)$ и $\omega\left(\varepsilon^{2}\right)$ являются независимыми функциями. В общем случае $\mu^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)$ и $\omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)$ не обращаются в нуль одновременно.
4. $\gamma=0$ всегда является собственным значением $y(\varepsilon)$. Оно является геометрически простым и алгебраически двойным собственным значением, если $\omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)
eq 0$ в точках, в которых $\gamma(\varepsilon)=0$. Если $\omega^{\prime}\left(\varepsilon^{2}\right)=0$ для значений, в которых $\gamma(\varepsilon)=0$, то $\gamma=0$ может быть геометрически и алгебраически двойным собственным значением (см. § VIII.4).
5. При соответствующем выборе функции $F(\mu, V)$ можно получить вторичную и повторяющуюся бифуркацию $T$ ( $\varepsilon$ )-периодических по $t$ решений (2л-периодических по $s$ решений) с постоянным радиусом \&. В самом деле, уравнение (VII.48) показывает, что исследование такой бифуркации можно свести к анализу уравнения в $\mathbb{R}^{1}$, бифуркационные свойства которого были полностью охарактеризованы в гл. II.