Теорема о неявной функции является основным математическим результатом, используемым в теор ии бифуркаций. В наиболее простой форме эту теорему можно сформулировать следующим образом.

Пусть $F\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)=$, и пусть $F$ – функция, непрерывно дифференцируемая в некоторой открытой области ( $\mu, \varepsilon)$-плоскости, содержащей точку $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$. Тогда если $F_{\varepsilon}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)
eq 0$, то существуют $\alpha>0$ и $\beta>0$, такие что:
(1) Уравнение $F(\mu, \varepsilon)=0$ имегт единственное решение $\varepsilon=\varepsilon(\mu)$, когда $\mu_{0}-\alpha<\mu<\mu_{0}+\alpha$, такое что $\varepsilon_{0}-\beta<\varepsilon<\varepsilon_{0}+\beta$.
(2) Функция в(.) непрерывно дифференцируема при $\mu_{0}-\alpha<\mu<$ $<\mu_{0}+\alpha$.
(3) $\varepsilon_{\mu}(\mu)=-F_{\mu}(\mu, \varepsilon(\mu)) / F_{\varepsilon}(\mu, \varepsilon(\mu))$.
Замечание 1. Уравнение можно разрешить относительно $\mu(\varepsilon)$, если $F_{\mu}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)
eq 0$.

Замечание 2. Если $F$-аналитическая функция, то аналитическими будут $\mu(\varepsilon)$ или $\varepsilon(\mu)$.
Замечание 3. Предположим, что нам нужно решить уравнение
\[
F\left[\mu, \varepsilon^{(1)}, \ldots, \varepsilon^{(n)}\right]=0
\]

относительно $\mu$. Если $F\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}^{(1)}, \ldots, \varepsilon_{0}^{(n)}\right)=0$ и $F_{\mu}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}^{(1)}, \ldots, \varepsilon_{0}^{(n)}\right)
eq 0$, то выполняются условия теоремы о неявной функции, при этом $\varepsilon_{0}^{(k)}-\beta_{k}<\varepsilon^{(k)}<\varepsilon_{0}^{(k)}+\beta_{k}, k=1, \ldots, n$, и мы получаем единственную функцию $\mu=\mu\left(\varepsilon^{(1)}, \ldots, \varepsilon^{(n)}\right)$ в интервале $\mu_{0}-\alpha<\mu<\mu_{0}+\alpha$.

Замечание 4. Доказательство теоремы о неявной функции дается почти во всех учебниках по матеиатическому анализу и здесь опускается.