Мы теперь переходим к анализу стационарных бифуркационных решений двумерных автономных задач (IV.1). В этой главе мы рассматриваем двумерную задачу и записываем (IV.1) в скалярной форме:
\[
\frac{d u_{l}}{d t}=f^{(l)}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right), \quad l=1,2,
\]

где
\[
\begin{aligned}
f^{(1)}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)= & a_{0} u_{1}+b_{0} u_{2}+\mu\left(a^{\prime}(\mu) u_{1}+b^{\prime}(\mu) u_{2}\right)+ \\
& +\alpha_{1}(\mu) u_{1}^{2}+2 \beta_{1}(\mu) u_{1} u_{2}+\gamma_{1}(\mu) u_{2}^{2}+O\left(\|\mathbf{u}\|^{3}\right), \\
f^{(2)}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)= & c_{0} u_{1}+d_{0} u_{2}+\mu\left(c^{\prime}(\mu) u_{1}+d^{\prime}(\mu) u_{2}\right)+ \\
& +\alpha_{2}(\mu) u_{1}+2 \beta_{2}(\mu) u_{1} u_{2}+\gamma_{2}(\mu) u_{2}^{2}+O\left(\|\mathbf{u}\|^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Старшие члены в $f^{(l)}$ суть элементы матриц $\left(A_{l j}(\mu)\right)$ и $\left(B_{l j k}(\mu)\right)$, определенных формулой (IV.2), и $\|\mathbf{u}\|^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{?}$.

В гл. IV мы исследовали устойчивость решения $\mathbf{u}=0$ в терминах собственных значений $\sigma(\mu)$ матрицы $\mathbf{A}(\mu)$. Теперь найдем условия, при которых могут ответвляться новые стационарные решения (V.1), и укажем условия, при выполнении которых они будут устойчивы по отношению к малым возмущениям.