Анализ двойной точки бифуркации оказывается еще проще, если сначала сделать редукцию (I.14) к локальной форме. Уместно сделать несколько замечаний о бифуркационных диаграммах, которые следуют из анализа (I.14). Обычно в литературе исследование начинают со случая, когда $u=0$-решение эволюционной задачи.
\begin{tabular}{lll}
Односторонняя & Односторонняя & Авусторонняя \\
суперкритическая & субкричиеская & (транскритическая) \\
бифуркация & бифуркация & бифуркация
\end{tabular}

Рис. II.3. Устойчивость решений, ответвляющихся при $\varepsilon=0$. Для субкритических решений $|\varepsilon|>0$ для тех значений $\mu$ (>0 на диаграмме), для которых $\varepsilon=0$ неустойчиво. Для субкритических решенай $|\varepsilon|>0$ для тех $\mu$, для которых $\varepsilon=0$ устойчиво.

Если $F(\mu, 0)=0$ для всех $\mu$, то $F_{\mu}(0,0)=F_{\mu \mu}(0,0)=0$ и условие строгой потери устойчивости решения $u=0$ при переходе $\mu$ через нуль принимает вид
\[
\sigma_{\mu}^{(1)}(0)=F_{\mu \varepsilon}(0,0)
eq 0, \text { пусть }>0 .
\]

Тогда $D=F_{\varepsilon \mu}^{2}>0$ и
\[
\sigma^{(2)}(\varepsilon)=-\mu_{\varepsilon}^{(2)}(\varepsilon) \sigma_{\mu}^{(1)}(0)\{\varepsilon+o(\varepsilon)\} .
\]

Бифуркационные диаграммы, которые следуют из этих результатов, и относящиеся к ним заключенгя приведены на рис. II. 3 и подписях под ним.

Прекрасный демонстрационный опыт, помогающий понять идеи, содержащиеся в теореме 3, придумал Т. Бенджамин. Его опыт-это пример выпучивания простой конструкции под действием собствөнного веса. Прибор представляет собой доску с двумя отверстиями, через которые пропущена прово.тока, образующая над доской дугу длиной $l$. Проволока, фактически используемая в приборе Бенджамина, похожа на велосипедный тормозной тросик: она свита в тугую спиральную пружину и покрыта пластмассовой трубкой. Прибор схематически изображен на рис. II.4.

Пусть уравнение движения проволочной дуги имеет вид
\[
\frac{d \theta}{d t}=F(l, \theta) .
\]

Равновесные решения этого уравнєния вида $F(l(\theta), \theta)=0$ показаны на рис. II.5. Здесь $\theta=0$-это одно решение (прямостоящая дуга), a $l(\theta)$-другое решение (согнутая дуга). Фактически существует взаимно-однозначное соответствие между опытом Бенджамина и бифуркационной диаграммой (II.5): все, что можно наблюдать в опыте,

Рис. II.4. Прибор Бенджамина для демонстрации выпучивания дуги проволоки под действием гравитационной нагрузки. Бифуркационная диаграмма, соответствующая этой систеие, показана на рис. II.5. Для малых $l$ единственному устойчивому решению уравнения (II.54) отвечает вертикальное положение дуги проволоки $\left(\theta=0\right.$ ). Если $l>l_{c}$ велико, то вертикальное положение неустойчиво и дуга наклоняется влево или вправо, как показано на эскизе (вид спереди). Наклонное положение проволоки устойчиво гакже, если $l<l_{c}$. Если $l_{0}<l<l_{c}$, то существуют три стационарные решения: вертикальное положение $(\theta=0$ ) и левое или правое наклонное положение $(|\theta|
eq 0$ ).

присутствует и в диаграмме, и напротив, все особенности диаграммы наблюдаются в опыте. Объяснение наблюдаемых при этом событий содержится в подписи к рис. II.5.

Бифуркация в двойной точке-самая распространенная форма бифуркации в сингулярной точке. Другие виды бифуркаций (точки возврата, тройные точки и др.) встречаются реже, поскольку для них необходимы определенные соотношения между старшими производными от $F(\mu, \varepsilon)$. Такие ситуации часто называют необщими бифуркациями. Существует строгая математическая трактовка термина «общий» (связанная со всюду плотными множествами специального вида), но чаще всего он используется вместо обычного слова «mипичный». Анализ типичных задач неприменим к нетипичным случаям. Например, безусловно разумнее основывать вычисления притяжения между точечными массами на ньютоновом законе обратной пропорциональности квадрату расстояния, а не на некотором воображаемом общем законе, скажем, $\sim 1 / r^{2}+\varepsilon$ (что привело бы к еще более странному миру с $\varepsilon
eq 0$, чем известный нам мир с $\varepsilon=0$ ).

Рис. II.5. Бифуркационная диаграмма нагружения проволочной дуги. Если $l$ мало, то единственным положением равновесия уравнения (II.5) является вертикальное положение $(\theta=0)$. Решение $\theta=0$ теряет устойчивость, если $\mu=l-l_{c}$, воз растая, проходит через нуль. Тогда решение $\mu(\theta)=l(\theta)-l_{c}$, соответствующее наклонной дуге, имеет двойную точку бифуркации в особой экстремальной точке $(l, \theta)=\left(l_{c}, 0\right)$. Система обладает симметрией по $\theta$. Если $l>l_{c}$, то устойчивыми являются только левая и правая наклоненные конфигурации. Точки $(l, \theta)=\left(l_{0}, \pm \theta_{0}\right)$ суть регулярные экстремальные точки. Если $l_{0} \leqslant l \leqslant l_{c}$, то существуют три устойчивые решения: $\theta=0$ и симметричные левое и правое наклоненные положения. В этой области система имеет гистерезис. Если длина дуги $l$ части проволоки, расположенной над доской, уменьшается и проволока находится в наклоненном положении, то наклоненная конфигурация продолжает наблюдаться до $l=l_{0}$. Если $l=l_{0}$, то бифуркационное наклоненное положение соответствует регулярной экстремальной точке. Если $l<l_{0}$, то единственное положение равновесия $\theta=0$ устойчиво. Поэтому, если $l$ сделать меньше, чем $l_{0}$, то дуга моментально примет вертикальное положение. Теперь, если увеличивать $l$, то дуга будет оставаться в вертикальном положении до $l=l_{c}$. Если $l>l_{c}$, то вертикальное положение теряет устойчивость и дуга принимает левое или правое устойчивое наклоненное положение.

В том же смысле можно сказать, что если в вашей задаче $D=0$, когда все вторые производные отличны от нуля, то вы неизбежно получите бифуркацию в точке возврата независимо от того, насколько типична бифуркация в двойной точке.