Мы хотим показать, что бифуркация решения $\mathbf{u}=0$ в двойном полупростом собственном значении для задачи высокой размерности (VI.45) является той же самой, что и в $\mathbb{R}^{2}$ (см. §§ V.7-9), если исключить малую пассивную часть, которая ортогональна проектируемой части и имеет более высокий порядок относительно амплитуды.

Устойчивость стационарного решения $\mathbf{u}=0$ уравнения (VI.45) описывается спектральной задачей (VI.46) и связанной с ней сопря-
1) Это можно также проверить при помощи теории, разработанной в книге T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, 1966.

женной спектральной задачей (VI.49). Предположим, что $\sigma(0)=0$ двойное полупростое собственное значение $\mathbf{f}_{u}(0 \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathfrak{f}_{u}(\cdot)$. В отличие от матрицы $\mathbf{A}_{0}$ в $\mathbb{R}^{2}$ оператор $\mathbf{f}_{t}(\cdot)$ не обращается в нуль тождественно. Например, если $\mathrm{f}_{u}(\cdot)=\AA$ в $\mathbb{R}^{3}$, то имеем
\[
\mathbf{A}_{0} \cdot \xi=\sigma \xi \text {, }
\]

где
\[
\mathbf{A}_{0}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\lambda
\end{array}\right]
eq 0
\]

и $\sigma=0$-двойное полупростое собственное значение матрицы $\mathbf{A}_{0}$. Говорят, что два независимых вектора $\xi_{1}$ и $\zeta_{2}$, которые аннулируются матрицей $\mathbf{A}_{0}$,
\[
A_{0} \cdot \zeta_{1}=0, \quad A_{0} \cdot \zeta_{2}=0,
\]

лежат в нуль-пространстве матрицы $\mathbf{A}_{0}$, и можно эти векторы выбрать так, чтобы
\[
\zeta_{1}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \quad \zeta_{2}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Третий вектор
\[
\zeta_{3}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
\]

определяется единственным образом из уравнения $\mathbf{A}_{0} \cdot \xi_{3}=-\lambda \xi_{3}$ и условия нормировки.

В общей задаче $\mathbf{f}_{u}^{*}(\cdot)$ имеет двумерное нуль-пространство (с собственными векторами $\xi_{1}^{*}$ и $\zeta_{2}^{*}$, принадлежащими $\sigma=0$ ), если $\mathbf{f}_{a}(\cdot)$ обладает таким же свойством, и уравнение
\[
\mathbf{f}_{u}(\varphi)=\psi
\]

разрешимо относительно $\varphi$ в $H$ тогда и только тогда, когда $\left\langle\psi, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=$ $=\left\langle\boldsymbol{\psi}, \zeta_{3}^{*}\right\rangle=0$.

Теперь рассмотрим задачу бифуркации и покажем, что она сводится к задаче, уже рассмотренной в $\mathbb{R}^{2}$. Сначала будем искать решение в форме (V.3) из § V.8:
\[
\mathbf{u}(\mu)=\mathbf{u}_{1} \mu+\frac{1}{2} \mathbf{u}_{2} \mu^{2}+\frac{1}{3 !} \mathbf{u}_{3} \mu^{3}+O\left(\mu^{4}\right) .
\]
(Аналогичные методы можно использовать для построения решений в форме (V.2) из § V.7.) Подставляя (VI.107) в (VI.45), находим после отождествления, что
\[
\frac{d \mathbf{u}_{1}}{d t}:=\mathbf{f}_{u}\left(\mathbf{u}_{1}\right) .
\]

Отсюда следует, что $\left\langle\mathbf{u}_{1}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle$ и $\left\langle\mathbf{u}_{1}, \zeta_{2}^{*}\right\rangle$ не зависят от времени. Будем разыскивать стационарные решения (Vl.45). Они удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{f}_{n}\left(\mathbf{u}_{1}\right)=0, \\
2 \mathbf{f}_{\mu u}\left(\mathrm{u}_{1}\right)+\mathrm{f}_{u t u}\left(\mathrm{u}_{1} \mid \mathrm{u}_{1}\right)+\mathrm{f}_{u}\left(\mathrm{u}_{2}\right)=0, \\
\mathbf{f}_{u t u}\left(\mathbf{u}_{1}\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mathbf{f}_{u u \mu}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mathbf{f}_{u \mu \mu}\left(\mathbf{u}_{1}\right)+ \\
+3 \mathbf{f}_{u \mu}\left(\mathbf{u}_{2}\right)+3 \mathrm{f}_{u u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{2}\right)+\mathrm{f}_{a}\left(\mathbf{u}_{3}\right)=0, \\
\end{array}
\]

где в упрощенных обозначениях мы вычисляем производные от $\mathbf{f}$ в точке $(\mu, \mathbf{u})=(0,0)$. Уравнения $(\text { VI.108) })_{2}$ и $(\mathrm{VI} .108)_{3}$ разрешимы тогда и только тогда, когда для $l=1$ и $l=2$ выполняются соотношения
\[
\begin{array}{c}
2\left\langle\mathbf{f}_{\mu u}\left(\mathbf{u}_{1}\right), \xi_{l}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right), \xi_{l}^{*}\right\rangle=0, \\
\left\langle\mathbf{M}\left(\mathbf{u}_{1}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle+3\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\mathbf{u}_{2}\right), \xi_{l}^{*}\right\rangle+3\left\langle\mathbf{f}_{u a}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{2}\right), \xi_{l}^{*}\right\rangle=0,
\end{array}
\]

где
\[
\mathbf{M}\left(\mathbf{u}_{1}\right)=\mathbf{f}_{u u u}\left(\mathbf{u}_{1}\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)-3 \mathrm{f}_{u u \mu}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mathrm{f}_{u \mu \mu}\left(\mathbf{u}_{1}\right) .
\]

Решение $\mathbf{u}(\mu)$ всегда можно разложить на часть, принадлежащую двумерному нуль-пространству оператора $\mathrm{f}_{u}(\cdot)$, и часть, которая ортогональна $\zeta_{1}^{*}$ и $\zeta_{2}^{*}$ :
\[
\begin{aligned}
\mathbf{u}(\mu)= & \mu\left\{\chi(\mu) \zeta_{1}+\theta(\mu) \xi_{2}\right\}+\mu \mathbf{W}(\mu), \\
& \left\langle\mathbf{u}(\mu), \zeta_{1}^{*}\right\rangle=\mu \chi(\mu), \\
& \left\langle\mathbf{u}(\mu), \zeta_{2}^{*}\right\rangle=\mu \theta(\mu), \\
& \left\langle\mathbf{W}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=\left\langle\mathbf{W}, \zeta_{2}^{*}\right\rangle=0 .
\end{aligned}
\]

Поскольку все решения $\mathbf{f}_{t}\left(\mathbf{u}_{1}\right)=0$ можно представить в виде линейной комбинации двух независимых решений, то имеем
\[
\mathbf{u}_{1}=\chi_{0 \mathrm{o}_{1}}^{\zeta_{1}}+\theta_{0} \xi_{2}
\]

и $\mathbf{W}_{0}=0$. Комбинируя (VI.112) и (Vl.109), находим, что
\[
\begin{array}{l}
f_{1}\left(\chi_{0}, \theta_{0}\right)=a_{1} \chi_{0}+b_{1} \theta_{0}+\alpha_{1} \chi_{0}^{2}+2 \beta_{1} \chi_{0} \theta_{
u}+\gamma_{1} \theta_{0}^{2}=0, \\
f_{2}\left(\chi_{0}, \theta_{0}\right)=a_{2} \chi_{0}+b_{2} \theta_{0}+\alpha_{2} \chi_{0}^{2}+2 \beta_{2} \chi_{0} \theta_{0}+\gamma_{2} \theta_{0}^{2}=0,
\end{array}
\]

где для $j=1,2$
\[
\begin{array}{c}
a_{j}=\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\xi_{1}\right), \xi_{j}^{*}\right\rangle, \quad b_{j}=\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\xi_{2}\right), \zeta_{j}^{*}\right\rangle, \\
\alpha_{j}=\frac{\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\xi_{1} \mid \xi_{1}\right), \zeta_{j}^{*}\right\rangle}{2}, \quad \beta_{j}=\frac{\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\xi_{1} \mid \xi_{2}\right), \zeta_{j}^{*}\right\rangle}{2}, \\
\gamma_{j}=\frac{\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\xi_{2} \mid \xi_{2}\right), \xi_{i}^{*}\right\rangle}{2} .
\end{array}
\]

Уравнения (VI.113) являются уравнениями пересекающихся конических сечений ( $\mathrm{V} .29)$, которые получены в $\mathbb{R}^{2} ;\left(\chi_{0}, \theta_{0}\right)=(0,0)$ является всегда точкой пересечения. Кроме этой точки пересечения могут существовать до трех других точек. Если, как в $\mathbb{R}^{2}$, в точке пересечения выполняется условие
\[
\operatorname{det} \mathscr{g}_{0}
eq 0, \text { где } \mathscr{I}_{0}=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial \chi_{0}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial \theta_{0}} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial \chi_{0}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial \theta_{0}}
\end{array}\right],
\]

то в этой точке ответвляется решение. В общем случае кроме решения $\mathbf{u}(\mu)=0$ может существовать несколько других решений, от одного до трех:
\[
\mathbf{u}^{[k]}(\mu)=\mathbf{u}_{1}^{[k]} \mu+\frac{1}{2} \mathbf{u}_{2}^{[k]} \mu^{2}+\frac{1}{3 !} \mathbf{u}_{3}^{[k]} \mu^{3}+O\left(\mu^{4}\right) .
\]

Для того чтобы показать, что условий (VI.113) и (VI.114) достаточно для существования бифуркащии, мы сначала отметим, что
\[
\mathbf{u}_{2}=\chi_{1} \xi_{1}+\theta_{1} \xi_{2}+\mathbf{W}_{1} \text {, }
\]

где соотношение $\mathbf{f}_{u}\left(\mathbf{W}_{1}\right)=2 \mathbf{f}_{\mu u}\left(\mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{f}_{\text {at }}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right)$ разрешимо в силу (VI.113). Для каждого решения $\mathbf{u}_{1}^{[k]}$ существует $\mathbf{W}_{1}^{[k]}$. Комбинируя (VI.116) и (VI.110), находим для $l=1$ и $l=2$, что
\[
\begin{array}{l}
P_{l}+\chi_{1}\left\{\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\xi_{1}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \xi_{1}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle\right\}+ \\
+\theta_{1}\left\{\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\zeta_{2}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{a u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \zeta_{2}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle\right\}=0, \\
\end{array}
\]

где
\[
P_{l}=\frac{1}{3}\left\langle\mathbf{M}\left(\mathbf{u}_{1}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\mathbf{W}_{1}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{t u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{W}_{1}\right), \zeta_{l}^{*}\right\rangle
\]

известно после вычисления членов более низкого порядка. Нам нужно найти $\chi_{1}$ и $\theta_{1}$. Подставляя $\mathbf{u}_{1}=\chi_{0} \xi_{1}+\theta_{0} \xi_{2}$ в $\mathrm{f}_{\text {au }}$ и используя (VI.113), мы приводим (VI.117) к виду
\[
\mathbf{P}+\mathscr{g}_{0} \cdot \boldsymbol{\chi}=0 \text {, где } \boldsymbol{\chi}=\left[\begin{array}{l}
\chi_{1} \\
\theta_{1}
\end{array}\right], \mathbf{P}=\left[\begin{array}{l}
\mathrm{P}_{1} \\
\mathrm{P}_{2}
\end{array}\right] .
\]

Эти два уравнения имеют единственное решение тогда и только тогда, когда
\[
\operatorname{det} \mathscr{I}_{0}
eq 0 .
\]

В точности это же самое уравнение разрешимости получаем при вычислении членов более высокого порядка.

Теперь мы покажем, что устойчивость бифуркационных решений $\mathbf{u}^{[k]}(\mu), k=1,2$ или 3 , и решения $\mathbf{u}=0$ определяется собственными значениями матрицы $\mathscr{g}_{0}$. Пусть $\mathbf{u}(\mu)$ – одно из указанных четырех решений, и пусть $e^{\gamma t \zeta}$-малое возмущение решения $\mathbf{u}$, удовлетворяющее спектральной задаче
\[
\gamma \zeta=\mathrm{f}_{u}(\mu, \mathbf{u}(\mu) \mid \zeta) .
\]

Если $\mu=0$, то $\mathbf{u}=0, \gamma(0)=0$ и $\mathbf{f}_{u}(0,0 \mid \zeta(0))=\mathbf{f}_{t}(\zeta(0))=0$ имеет два независимых решения $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$. Поэтому $\zeta(0)=A \xi_{1}+B \zeta_{2}$, где $A$ и $B$ подлежат определению. Дифференцируя (VI.119) один раз по $\mu$ при $\mu=0$ и заменяя $\zeta(0)$ в получаемом уравнении, находим с помощью условий разрешимости, что
\[
\begin{array}{l}
-\gamma_{\mu} A+A\left\{\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\xi_{1}\right), \xi_{1}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \xi_{1}\right), \zeta_{1}^{*}\right\rangle\right\}+ \\
+B\left\{\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\zeta_{
u}\right), \zeta_{1}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \zeta_{2}\right), \zeta_{1}^{*}\right\rangle\right\}=0
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
-\gamma_{\mu} B+A\left\{\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\zeta_{1}\right), \zeta_{2}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \zeta_{1}\right), \zeta_{2}^{*}\right\rangle\right\}+ \\
+B\left\{\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\zeta_{2}\right), \zeta_{2}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \zeta_{2}\right), \zeta_{2}^{*}\right\rangle\right\}=0 .
\end{array}
\]

Подставляя $\mathbf{u}_{1}=\chi_{0} \xi_{1}+\theta_{0} \xi_{2}$ в $\mathbf{f}_{u \mu}\left(\mathbf{u}_{1} \mid \cdot\right)$, находим, что
\[
\gamma_{\mu} \mathbf{A}=\mathscr{g}_{0} \cdot \mathbf{A} \text {, }
\]

где
\[
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right] .
\]

Следовательно, $\gamma_{\mu}$ суть собственные значения матрицы $\mathscr{g}_{0}$, как в $\mathbb{R}^{2}$. Строгое обоснование этого метода вычислений можно найти в монографии Като (1966), указанной в § VI.11.