Мы уже определили два типа равновесных решений: (1) стационарные решения автономных задач и (2) $T$-периодические решения неавтономных задач.

Одна из основных особенностей бифуркации состоит в появлении решений, которые нарушают свойства симметрии правой части при $\mathbf{U}=0$. Например, можно получить (3) $\tau$-периодическое решение $\mathbf{U}(t)=\mathbf{U}(t+\tau)$ или $\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t+\tau)$ автономной задачи (I.11) или (I.13) соответственно. Можно получить (4) субгармонические решения $\mathbf{U}(t)=\mathbf{U}(t+n T)$ или $\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t+n T)$, где $n=1,2,3, \ldots$, неавтономных $T$-периодических задач (1.12) или (I.14) соответственно. Мы можем также получить (5) субгармонические бифуркационные решения от $\tau$-периодических решений автономных задач и т. д.
Допустим, что существует $\tau$-периодическое решение (I.13)
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u}(\mu, t)), \quad \mathbf{u}(\mu, t)=\mathbf{u}(\mu, t+\tau) .
\]

В этом случае $\mathbf{f}$ автономна даже тогда, когда $\mathbf{u}$ зависит от $t$. Возмущение $\mathbf{v}$ решения $\mathbf{u}(\mu, t)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d(\mathbf{u}—\mathbf{v})}{d t}=\mathrm{f}(\mu, \mathbf{u}(\mu, t)+\mathbf{v}(t)) .
\]

Если существуют периодические решения (I.16) $\mathbf{u}(\mu, t)+\mathbf{v}(t)=$ $=\mathbf{u}(\mu, t+\tilde{\tau})+\mathbf{v}(t+\tau)$, где $\tilde{\tau} \rightarrow n \tau, n=1,2,3, \ldots$ при $\mathbf{v} \rightarrow 0$, то решение $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ называется субгармоническим. Наконец, можно получить (6) бифуркацию периодических решений автономных и неавтономных задач в «асимптотически квазипериодические» решения. Иногда говорят, что эти решения лежат на бифуркационных торах, и они будут рассмотрены в гл. X.

Мы не даем общего определения равновесных решений. Вместо этого «равновесное решение» будет означать один из шести типов решений, перечисленных выше.