Теперь мы будем решать уравнение (X.1), когда отношение частот в критической точке $\omega_{0} T / 2 \pi$ выражается иррациональным числом. Будем искать дважды периодическое решение $\mathbf{u}(t, s, \varepsilon)$
\[
\mathbf{u}\left(\cdot, \cdot, \text { e) } \in \mathbb{P}_{T, 2 \pi},\right.
\]

являющееся $T$-периодическим по $t$ и $2 \pi$-периодическим по $s$ и таким, что
\[
s=\omega(\varepsilon) t, \quad \omega(0) \stackrel{\text { def }}{=} \omega_{0}, \quad \mathbf{u}(t, s, 0)=0 .
\]

Амплитуду $\varepsilon$ решения и определим проекцией (X.180). Сначала разложим решение
\[
\left[\begin{array}{c}
\mathbf{u}(t, s, \varepsilon) \\
\omega(\varepsilon)-\omega_{0} \\
\mu(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{p !}\left[\begin{array}{c}
\mathbf{u}_{p}(t, s) \\
\omega_{p} \\
\mu_{p}
\end{array}\right]
\]

и отюждествим коэффициенты при независимых степенях е. Чтобы упростить запись уравнений, возникающих в результате определения коэффициентов \”рядов (X.166), отметим, что
$\mu(\varepsilon)$ и $\omega(\varepsilon)$ суть четные функции.

Это утверждение можно вновь доказать на основе используемого здесь метода ценою более длинного, но не более трудного анализа (cM. D. D. Joseph, Remarks about bifurcation and stability of quasiperiodic solutions, Nonlinear Problems in the Physical Sciences and Biology, Lecture Notes in Mathematics, No. 322 (New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1973)). При выводе уравнений для определения коэффициентов рядов (X.166) примем во внимание то обстоятельство, что наличие двух временных переменных приводит к следующему правилу дифференцирования по $t$ :
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial !}+\omega \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial s} .
\]

Эти уравнения почти совпадают с уравнениями вида (IX.50), (IX.51) и (IX.52) за исключением того, что производные нечетного порядка от $\mu$ и $\omega$ равны нулю, должен быть принят во внимание член с произведением, а оператор \& следует заменить на оператор
\[
\mathscr{L}_{0}=-\omega_{0} \frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial t}+\mathrm{f}_{u}(t \mid \cdot)=-\omega_{0} \frac{\partial}{\partial s}+J_{0},
\]

область определения которого состоит из дважды периодических функций от $t$ и $s$ (dom $\left.\mathscr{L}_{0}=\mathbb{P} T, 2 \pi\right)$. Оператор $J_{0}$ в точности совпадает с оператором, определенным в § IX.4, за исключением того, что здесь мы пишем $\partial / \partial t$ в связи с тем обстоятельством, что если $J_{0}$ действует на функции из $\mathbb{P} T, 2 \pi$, то вторую переменную $s$ следует рассматривать как постоянную. В частности,
\[
J_{0} \xi=i \omega_{0} \xi \text {, }
\]

где $i \omega_{0}$-простое собственное значение, и поэтому
\[
\mathbf{z}=e^{i s \xi \text { и }} \overline{\mathbf{z}}
\]

являются единственными собственными функциями на нуль-пространстве оператора $\mathscr{L}_{0}$, т. е. $\mathscr{L}_{0} \mathrm{z}=\mathscr{L}_{0} \overline{\mathbf{z}}=0$. Чтобы доказать это, представим нуль-векторы оператора $\mathscr{L}_{0}$ в виде рядов Фурье и отождествим коэффициенты при $e^{i k s}$. Тогда, принимая во внимание то обстоятельство, что $\omega_{0} T / 2 \pi$ есть иррациональное число, получаем
\[
\pm i \omega_{0}+\frac{2 \pi i k}{T}
eq i \omega_{0} k^{\prime} \text { для любых } k
eq 0 \text { и } k^{\prime} .
\]

Оператор, сопряженный по отношению к $\mathscr{L}_{0}$ в $\mathbb{P}_{T, 2 \pi}$, определяется с использованием скалярного произведения
\[
\llbracket \cdot, \cdot \rrbracket=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}[\cdot, \cdot]_{T} d s,
\]

где $[\cdot, \cdot]_{T}$ определяется как в гл. IX с использованием операции интегрирования по $t$. Имеем
\[
\llbracket \mathscr{L}_{0} \mathbf{a}, \mathbf{b} \rrbracket=\llbracket \mathbf{a}, \mathscr{L}_{0}^{*} \mathbf{b} \rrbracket
\]

для всех a, b из $\mathbb{P} T, 2 \pi$ и
\[
\mathscr{L}_{0}^{*}=\omega_{0} \frac{\partial}{\partial s}+\frac{\partial}{\partial t}+\mathfrak{f}_{a}^{*}(t \mid)=\omega_{0} \frac{\partial}{\partial s}+J_{0}^{*},
\]

где оператор $J_{0}^{*}$ определяется как и в $\S$ IX. 2-4.
Теперь определим $\mathrm{z}^{*}(t, s)=e^{i s \xi^{*}}(t)$ и предположим, что
\[
\mathscr{L}_{0} \mathrm{y}(t, s)=\mathbf{h}(t, s), \mathbf{h}(\cdot, \cdot) \in \mathbb{P}_{T, 2 \pi} .
\]

Тогда решение $\mathbf{y}(t, s), \mathbf{y}(\cdot, \cdot) \in \mathbb{P}$, 2 л существует, если только
\[
\llbracket \mathrm{h}, \mathrm{z}^{*} \rrbracket=\left[\mathrm{h}, \overline{\mathrm{z}}^{*} \rrbracket=0 .\right.
\]
в случае, когда $\mathrm{h}(t, s)$ представима в виде конечного ряда Фурье по s. В общем случае в (X.171), возникает «проблема малых знаменателей», и разрешимость может быть гарантирована, если на $\mathbf{h}(\cdot, \cdot)$ и $\omega_{0}$ наложить более сильные условия и потребовать выполнения одного диофантова условия. Условия (X.171) выражают альтернативу Фредгольма для разрешимости приводимых ниже условий для определения коэффициентов рядов (X.166). Если $\mathbf{h}(t, s)$-вещественная функция, то одно из условий (X.171) 2 следует из другого.

Подставляя ряды (X.166) в (X.1) и приравнивая в левой и правой частях получаемого уравнения коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получаем уравнения
\[
\begin{array}{cc}
0=\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{1}, & \text { (X.172) } \\
0=\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{2}+\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right), & (X .173) \\
3 \omega_{2} \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}=\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{3}+3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mathbf{f}_{u \mu}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right)=0,
\end{array}
\]

а для $p>3$
\[
p \omega_{p-1} \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}=\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{p}+p \mu_{p-1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+p \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{p-1}\right)+g_{p},(\mathrm{X} .175)
\]

где $\mathbf{g}_{p}$ зависит от членов более низкого порядка, чем $p-1$. Каждое из этих уравнений решаем относительно $\mathbf{u}_{p}(t, s), \mathbf{u}_{p}(\cdot, \cdot) \in \mathbb{P} T, 2 \pi$, $\omega_{p-1}$ и $\mu_{p-1}$.

Из альтернативы Фредгольма (X.171) для $\mathscr{L}_{0}$ следует, что уравнение (X.173) разрешимо, если
\[
\llbracket \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{z}^{*} \rrbracket=0 .
\]

Напомним, что $\llbracket \cdot, \cdot \rrbracket$ определяется формулой (X.169) как интеграл по $t$ и s. Уравнение (X.174) разрешимо, если
\[
\begin{array}{l}
3 \omega_{2} \llbracket \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}, \mathbf{z}^{*} \rrbracket=3 \mu_{\mathbf{2}} \llbracket \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{z}^{*} \rrbracket- \\
+\llbracket\left\{3 \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right)\right\}, \mathbf{z}^{*} \rrbracket,
\end{array}
\]

а условие разрешимости уравнения (X.175) имеет вид
\[
p \omega_{p-1} \llbracket \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}, \mathbf{z}^{*} \rrbracket=p \mu_{p-1} \llbracket \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{z}^{*} \rrbracket+\llbracket\left\{p \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{p-1}\right)+\mathrm{g}_{p}\right\}, \mathbf{z}^{*} \rrbracket .
\]

Покажем теперь, что
\[
\begin{array}{c}
\llbracket \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}, \mathbf{z}^{*} \rrbracket=i, \\
\llbracket \mathfrak{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{z}^{*} \rrbracket=\sigma_{\mu}(0), \quad \operatorname{Re} \sigma_{\mu}(0)
eq 0
\end{array}
\]

и что $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \ldots, \mu_{2}, \omega_{2}, \ldots, \mu_{9}, \omega_{9}, \ldots$ можно вычислять последовательно. В самом деле, равенства (Х.179) показывают, что уравнения (X.177) и (X.178) можно разрешить относительно $\mu_{2 l}$ и $\omega_{2 l}$, если найдены функции $\mathrm{u}_{n}$.

Представим снова $\mathbf{u}(t, s, \varepsilon)$ в виде разложения
\[
\mathbf{u}(t, s, \varepsilon)=\varepsilon[\mathbf{z}(t, s)+\overline{\mathbf{z}}(t, s)]+\mathbf{w}(t, s, \varepsilon),
\]

где
\[
\varepsilon=\llbracket \mathbf{u}, \mathbf{z}^{*} \rrbracket, \llbracket \mathbf{w}, \mathbf{z}^{*} \rrbracket=\llbracket \mathbf{w}, \overline{\mathbf{z}}^{*} \rrbracket=0,
\]
a $\mathbf{w}=\left(\varepsilon^{2} / 2\right) \mathbf{w}_{2}+\left(\varepsilon^{3} / 3 !\right) \mathbf{w}_{3}+\ldots$. Можно считать $\varepsilon$ вещественным, потому что если бы коэффициент при z в (X.180) был комплексным, то мы могли бы взять другое определение переменной $z$, представленной формулой (X.168), делая такой перенос начала отсчета координаты $s$, чтобы коэффициент при новой переменной $\mathbf{z}$ в (X.180) был вещественным. Разложение (X.180) сводит (X.179) и (X.172) к тождествам, а уравнение (X.173) принимает вид
\[
\mathscr{L}_{0} \mathbf{w}_{2}+\mathbf{f}_{u u}\left(i\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{\mathbf{1}}\right)=0 .
\]

Легко проверить, что если $\mathbf{u}_{1}=\mathbf{z}+\overline{\mathbf{z}}$, то условие разрешимости (X.176) выполняется и мы можем найти $\mathbf{w}_{2}$. В самом деле, функцию $\mathbf{w}_{2}(\cdot, \cdot) \in \mathbb{P}_{T, 2 \pi}$ можно разложить в ряд Фурье
\[
\mathbf{w}_{2}(t, s)=\sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathbf{w}_{2 k}(t) e^{i k s},
\]

который вместе с (X.181) и $\mathbf{u}_{1}=e^{i s \xi}+e^{-i s \bar{\xi}}$ дает
\[
\begin{aligned}
\left(J_{0}-2 i \omega_{0}\right) \mathbf{w}_{2,2}+\mathfrak{f}_{u u}(t|\xi| \zeta) & =0, \\
\left(J_{0}+2 i \omega_{0}\right) \mathbf{w}_{2,-2}+\mathfrak{f}_{u u}(t|\bar{\xi}| \bar{\xi}) & =0, \\
J_{0} \mathbf{w}_{2 u}+2 \mathbf{f}_{u u}(t|\zeta| \bar{\zeta}) & =0,
\end{aligned}
\]

а $\mathbf{w}_{2 k}(t)=0$ для всех $k \in Z, k
eq 0, \pm 2$.
Возвращаясь теперь к уравнению (X.177) и используя (X.179) и (X.180), находим, что
\[
3 \mu_{2} \sigma_{\mu}(0)-3 i \omega_{2}+\llbracket 3 \mathrm{f}_{a u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{w}_{2}\right)+\mathrm{f}_{u a u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{z}^{*} \rrbracket=0 .
\]

Поэтому
\[
\mu_{2} \sigma_{\mu}(0)-i \omega_{2}+\left[\mathbf{f}_{a u}\left(t|\zeta| \mathbf{w}_{2,0}\right)+\mathbf{f}_{u u}\left(t|\bar{\zeta}| \mathbf{w}_{2,2}\right)+\mathbf{f}_{u u a}(t|\zeta| \zeta \mid \zeta), \zeta^{*}\right]_{T}=0,
\]
a так как $\operatorname{Re} \sigma_{\mu}(0)
eq 0$, то комплексное уравнение (X.184) можно разрешить относительно $\mu_{2}$ и $\omega_{2}$.

Если $\mu_{2}$ и $\omega_{2}$ заданы, то уравнение (X.174) можно решить относительно $\mathbf{w}_{\mathbf{8}}$ и найти, что
\[
\mathbf{w}_{\mathbf{8}}(t, s)=\mathrm{w}_{\mathbf{3}, \mathrm{s}}(t) e^{s i s}+\mathrm{w}_{3,1}(t) e^{i s}+\overline{\mathbf{w}}_{3,1}(t) e^{-i s}+\overline{\mathbf{w}}_{3,3} e^{-3 i s},
\]

где
\[
\left[\mathrm{w}_{3,1}, \zeta^{*}\right]_{T}=0 .
\]

Оставляем читателю в качестве упражнения определение функций $\mathbf{w}_{3, k}$ и членов более высокого порядка.