Для случая (1), указанного в § IX.10, $n=1$ и $n=2$. Условие нормировки (IX.44) требует, чтобы
\[
\begin{array}{c}
{\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=1,} \\
{\left[\mathbf{u}_{p}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=0, \quad p \geqslant 2 .}
\end{array}
\]

Так как $\mathfrak{u}_{1}=0$, а вектор-функция, удовлетворяющая уравнению $\sqrt{Z}=0$ и условию $\left[\mathbf{Z}, \mathbf{Z}^{*}\right]=1$, определяется единственным образом, то получаем
\[
\mathbf{u}_{1}=\mathbf{Z} .
\]

Для случая (1) альтернатива Фредгольма для оператора $\sqrt{\text { ут- }}$ верждает, что уравнение $\sqrt{\mathbf{u}}=\mathrm{g} \in \mathbb{P}_{n T}(n=1,2)$ разрешимо тогда и только тогда, когда $[\mathrm{g}, \mathbf{Z}]=0$. Поэтому уравнение (IX.50) разрешимо, если
\[
2 \mu_{1} \sigma_{\mu}(0)+\left[\mathfrak{f}_{u_{u}}(t|\mathbf{Z}| \mathbf{Z}), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=0,
\]

где $\sigma_{\mu}(0)$ дается формулой (IX.38) и вещественно, так как $\mathbf{Z}$ и $Z^{*}$ вещественные векторы. Если условие (IX.56) выполняется, то уравнение (IX.50) разрешимо относительно $\mathbf{u}_{2}$ и имеет единственное решение $\mathbf{u}_{2}$, такое, что $\left[\mathbf{u}_{2}, Z^{*}\right]_{n T}=0$. Аналогично, все задачи вида (IX.52) разрешимы, если $\mu_{p-1}$ выбираются так, чтобы
\[
p \mu_{p-1} \sigma_{\mu}(0)+\left[\mathbf{f}_{p}, \mathbf{Z}^{*}\right]=0,
\]

где $\mathbf{f}_{p}$ не зависит от $\mathbf{u}_{p}$ и $\mu_{p-1}$.
Если $n=1$, то
\[
\mu_{1}=-\frac{\left[\mathrm{f}_{u a}(t|\zeta| \zeta), \zeta^{*}\right]_{T}}{2 \sigma_{\mu}(0)},
\]

вообще говоря, отлично от нуля. Из (IX.49) следует, что вблизи $\varepsilon=0$ бифуркация $T$-периодических решений из $T$-периодических решений является двухсторонней (транскритической), как показано на рис. IX.1. Бифуркация $T$-периодических в $T$-периодические решения имеет очень важное значение в природе. Имеется аналогия между задачами с периодическими правыми частями и задачами бифуркации нетривиальных стационарных решений в другие стационарные решения. В физических примерах этот тип бифуркации тесно связан с нарушением пространственной симметрии.

Pис. IX.1. (а) Двусторонняя бифуркация $T$-периодических решений в $T$-периодические решения; (б) односторонняя (на рисунке-суперкригическая) бифуркация в $2 T$-периодические решения.

Если $n=2$, то небольшие вычисления с использованием (IX.30) и (IX.36) показывают, что
\[
\mu_{1}=\left[e^{\pi i t / T} \mathbf{f}_{u u}(t|\xi| \xi), \zeta^{*}\right]_{2 T} / 2 \sigma_{\mu}=0 .
\]

Тогда уравнение (IX.50) разрешимо относительно $\mathbf{u}_{2}$ (с $\mu_{1}=0$ ), а уравнение (IX.51) разрешимо относительно $\mathfrak{u}_{3}$ тогда и только тогда, когда
\[
3 \mu_{2} \sigma_{\mu}(0)+3\left[\mathbf{f}_{u_{u}}\left(t|\mathbf{Z}| \mathbf{u}_{2}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{2 T}+\left[\mathbf{f}_{u^{u} u}(t|\mathbf{Z}| \mathbf{Z} \mid \mathbf{Z}), \mathbf{Z}^{*}\right]_{27}=0 .
\]

В общем случае $\mu_{2}
eq 0$.
Можно показать, используя метод математической индукции, что все производные нечетного порядка от $\mu(\varepsilon)$ равны нулю в случае $n=2$. Поэтому для $2 T$-периодической субгармонической бифуркации имеем
\[
\mu(\varepsilon)=\mu(-\varepsilon) .
\]

Отсюда следует, что в отличие от $T$-периодической бифуркации с $n=1$ двусторонняя, или транскритическая, бифуркация невозможна, и эта бифуркация является односторонней, суперкритической, если ветвление происходит вправо, и субкритической, если ветвление происходит влево.

Докажем теперь, что если в $2 T$-периодическом решении начало отсчета времени сдвинуть на $T$, то будем иметь решение, получаемое из исходного решения в результате изменения знака амплитуды $\varepsilon$. Это означает, что направление вектора $\mathbf{u}(t, \varepsilon)$ изменяется через промежуток времени $T$. Если и интерпретировать как радиус-вектор движущейся точки, то он движется в одну сторону в течение одной половины периода $2 T$ и в другую сторону в течение другой половины. Для того чтобы доказать это, запишем
\[
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{p}}{p !} \mathbf{u}_{p}(t) .
\]

Далее, $\mathbf{u}_{p}$ представляет собой полином, членами которого служат комбинации векторов из $\mathbb{P}_{T}$ с экспоненциальными коэффициентами вида
\[
\exp \frac{i \pi t r_{p}}{T}=k_{p},
\]

где $r_{p}$-нечетное целое число, если таковым является $p$, и четное целое число, если $p$-четное. Поэтому
\[
\exp \frac{i \pi(t+T)}{T} r_{p}=\left\{\begin{array}{r}
-k_{p}, \text { если } p \text { нечетное, } \\
k_{p}, \text { если } p \text { четное. }
\end{array}\right.
\]

Следовательно,
\[
\mathbf{u}(t+T, \varepsilon)=\sum_{p \mathrm{i}=}^{\infty} \frac{\varepsilon^{p}}{p !} \mathbf{u}_{p}(t+T)=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-\varepsilon)^{p}}{p !} \mathbf{u}_{p}(t)=\mathbf{u}(t,-\varepsilon) .
\]

Полученные результаты суммируем в виде следующей теоремы.
Теорема. Если f аналитическая и выполняются условия (I), (II) $u$ (III) § IX. 6 с $n=1,2$, то сущєствует единственное нетривиальное бифуркационное решение уравнения (IX.1). Если $n=1$, то бифуркация является, вообще говоря, двусторонней; если $n=2$, то она-односторонняя. В главном порядке
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=\varepsilon \boldsymbol{\zeta}(t) e^{i \theta t}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\mu(\varepsilon)=\left\{\begin{array}{l}
\varepsilon \mu_{1}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \text { если } n=1, \\
\varepsilon^{2} \mu_{2}+O\left(\varepsilon^{4}\right), \text { если } n=2,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где $\theta=0$, если $n=1 ; \theta=\pi / T$, если $n=2$. Кроме того, в случае $n=2 \mu$-аналитическая $\left.{ }^{1}\right)$ функция от $\varepsilon^{2} u \mathbf{u}(t+T, \varepsilon)=\mathbf{u}(t,-\varepsilon)$.

Мы завершим этот раздел формулировкой другой теоремы о факторизации.

Теорема. (Устойчивость субгармонических бифуркационных решений при $n=1$ и $n=2$.) Решение уравнения (IX.6) можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{y}(t, \varepsilon)=b(\varepsilon)\left[\frac{\partial \mathbf{u}(t, \varepsilon)}{\partial \varepsilon}+\frac{d \mu(\varepsilon)}{d \varepsilon} \mathrm{g}(t, \varepsilon)\right], \\
\mathbf{g}(t, \varepsilon) \in \mathbb{P}_{n T}
\end{array}
\]
$\left.{ }^{1}\right)$ Если $\mathbf{f}$ аналитическая по ( $\left.\mu, \mathbf{u}\right)$.

\[
\gamma(\varepsilon)=\frac{d \mu(\varepsilon)}{d \varepsilon} \hat{\gamma}
\]

где $b(\varepsilon)$ – нормализующий множитель, $a \hat{\gamma}(\varepsilon) u \mathrm{~g}(t, \varepsilon)$ удовлетворяют уравнению
\[
\begin{array}{l}
\hat{\gamma} \frac{\partial \mathbf{u}(t, \varepsilon)}{\partial \varepsilon}+\mathbf{f}_{\mu}(t, \mu, \mathbf{u}(t, \varepsilon))=-\left(\gamma \mathrm{g}+\frac{d \mathbf{g}}{d t}\right)+ \\
+\mathbf{f}_{u}(t, \mu(\varepsilon), \mathbf{u}(t, \varepsilon) \mid \mathbf{g}) . \\
\end{array}
\]

Если в мало, то
\[
\hat{\gamma}(\varepsilon)=-\sigma_{\mu}(0) \varepsilon+O\left(\varepsilon^{p}\right),
\]

где $p=2$, если $n=1$, и $p=3$, если $n=2$.
Оставляем доказательство этой теоремы о факторизации в качестве упражнения для читателя. Это доказательство проводится на основе тех же самых рассуждений, что и в § VII.8. Эта теорема о факторизации показывает, что субкритические решения неустойчивы, а суперкритические решения устойчивы, если $\varepsilon$ мало; она указывает на смену устойчивости, если никакое другое собственное значение, кроме $\gamma(\varepsilon)$ (возможно, комплексное), не пересекает мнимую ось при возрастании $\varepsilon$ от значения, отвечающего точке бифуркации, до значения, которое соответствует экстремальной точке.