§ 30. Построение разностных схем
Перейдем теперь к вопросу о построении разностных схем для задачи
Будем предполагать для определенности, что 
. Тогда 
. Первое, что кажется естественным, — это рассмотреть разностную схему
Замораживая коэффициент 
в точке 
мы видим, что для возникающего уравнения с постоянными коэффициентами при переходе на слой 
выполняется принцип максимума, если шаг 
выбран из условия
Поэтому можно ожидать устойчивости. Если решение задачи (1) гладкое, то аппроксимация задачи (1) задачей (2) не вызывает сомнения. Действительно, в этом случае экспериментальные расчеты заранее известных гладких решений подтверждают сходимость.
Однако если задача (1) имеет разрывное решение, то сходимости к обобщенному решению, заданному, скажем, интегральным законом сохранения
ни в каком разумном смысле ожидать нет оснований. Ведь в используемую разностную схему (2) не заложена информация о том, какой именно закон сохранения (8) из § 29, (3), или какой-нибудь другой — положен 
нами в основу определения обобщенного решения.
Поэтому при построении разностной схемы надо использовать либо интегральный закон сохранения, соответствующий искомому обобщенному решению, скажем закон (3), либо уравнение с искусственной вязкостью (10) § 29:
осуществляющее при 
отбор интересующего нас обобщенного решения.
1. Схема с искусственной вязкостью.
Отметим сразу же, что разностная схема с искусственно введенной малой вязкостью
имеет решение 
равномерно сходящееся при 
и достаточно малом 
к искомому обобщенному решению задачи (1) вне сколь угодно малых окрестностей линий разрыва обобщенного решения. При этом 
должно при 
достаточно медленно стремиться к нулю. Различные разностные схемы, использующие искусственную вязкость, успешно
применяются при газодинамических расчетах. Их недостатком является размазывание разрывов.
Остановимся подробно на построении разностных схем на основе интегрального закона сохранения (3).
Можно наметить два подхода. При первом используется не только сам интегральный закон сохранения (3), но также и вытекающее из него условие на разрыве
При втором разрывы не выделяются и расчет ведется по единообразным формулам во всех расчетных точках.
