2. Спектральный критерий ограниченности степеней самосопряженного оператора.
Допустим, что М-мерное линейное пространство 
состоит из функций, определенных в точках 
сетки (эта сетка может лежать на отрезке, на плоскости или в пространстве — безразлично), и что в 
введено скалярное произведение, которое для произвольной пары функций и, 
обозначим 
Пусть, далее, оператор 
равномерно по h ограничен некоторой постоянной 
и отображает пространство 
на некоторое подпространство 
размерности N М, причем на подпространстве 
оператор 
является самосопряженным, т. е. 
для любой пары функций к, 
Как известно из курса линейной алгебры, в этом случае в подпространстве 
существует ортонормальный базис
состоящий из собственных векторов оператора 
Обозначим через 
соответствующие (вещественные) собственные числа:
Теорема 1. Для выполнения оценки (3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Доказательство. Необходимость доказана в п. 1. Докажем достаточность. Пусть 
. Разложим вектор 
по базису (9):
Тогда в силу (10)
Принимая во внимание, что благодаря (8)
а также условие (11), из оценки (12) выведем (3):
Ниже мы установим некоторые признаки самосопряженности оператора 
и укажем некоторые способы оценки собственных чисел.
