2. Спектральный критерий ограниченности степеней самосопряженного оператора.

Допустим, что М-мерное линейное пространство состоит из функций, определенных в точках сетки (эта сетка может лежать на отрезке, на плоскости или в пространстве — безразлично), и что в введено скалярное произведение, которое для произвольной пары функций и, обозначим Пусть, далее, оператор равномерно по h ограничен некоторой постоянной

и отображает пространство на некоторое подпространство размерности N М, причем на подпространстве оператор является самосопряженным, т. е. для любой пары функций к, Как известно из курса линейной алгебры, в этом случае в подпространстве существует ортонормальный базис

состоящий из собственных векторов оператора Обозначим через соответствующие (вещественные) собственные числа:

Теорема 1. Для выполнения оценки (3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Доказательство. Необходимость доказана в п. 1. Докажем достаточность. Пусть . Разложим вектор по базису (9):

Тогда в силу (10)

Принимая во внимание, что благодаря (8)

а также условие (11), из оценки (12) выведем (3):

Ниже мы установим некоторые признаки самосопряженности оператора и укажем некоторые способы оценки собственных чисел.