§ 15. Необходимый спектральный признак устойчивости
В § 14 мы показали, что приведение разностной схемы решения задачи Коши с постоянными коэффициентами
к виду
может быть использовано для доказательства устойчивости: при определенных условиях (условия (17) § 14) оценка
достаточна для устойчивости.
Здесь мы покажем, что эта оценка (3) при некоторых естественных условиях необходима для устойчивости. Покажем также, что, независимо от выбора нормы, для оценки (3) необходимо, чтобы спектр матрицы 
, т. е. совокупность корней уравнения
лежал в круге
где С не зависит от h.
Перейдем к реализации намеченной программы.
1. Ограниченность норм степеней оператора перехода необходима для устойчивости.
Описанные нами способы приведения разностных уравнений к виду (2) таковы, что в случае нулевых правых частей разностных уравнений выражение 
также тождественно равно нулю.
Пусть постоянные 
выбраны так, чтобы выполнялись неравенства
(последнее при условии 
. Тогда при нулевых правых частях разностного уравнения (или системы разностных уравнений) уравнение (2) примет вид
откуда
Далее, в силу (6) и (8)
Из определения нормы линейного оператора следует, что вектор 
из конечномерного пространства всегда можно выбрать так, чтобы при данном 
было 
. Поэтому при некотором 
(зависящем от h)
При таком. выборе 
в силу (9) и (10) получим
Из последней оценки следует, что в случае устойчивости разностной схемы (1) постоянная С, входящая в определение устойчивости
неизбежно должна удовлетворять оценке
Отсюда видно, в частности, что если нормы 
согласованы так, что выполнены условия (6) и (7), то условие (3) необходимо для устойчивости. Условие (3) равносильно тому, что решение 
однородного уравнения 
при любом 
удовлетворяет неравенству
В примерах 1 и 2 § 14 числа 
можно было выбрать не зависящими от h (равными единице), как без труда проверит читатель. Это указывает на естественность сформулированных условий.
В примере 3 из § 14 для разностной схемы (22) при использовании равенства (24) и при нормах (23) условие 
выполняется, только если 
Но если изменить выбор нормы 
положив
и оценка (3) необходима для устойчивости. При таком изменении норм продолжают выполняться сформулированные в § 14 условия (17), при которых оценка (3) достаточна для устойчивости.