5. Разбиение разностной схемы на подсистемы.
Для подробного описания характера аппроксимации нам оказалось удобным говорить не сразу обо всей разностной схеме (13) вида (2)
но отдельно о подсистемах (15), (16), (17). Эти подсистемы (две последние состоят каждая из одного уравнения) можно записать соответственно следующими символическими равенствами:
Для этого надо положить
Для удобства речи и в общем случае разностную схему (2) часто разбивают на две или несколько подсистем:
так что
Правую часть 
каждой подсистемы 
удобно считать элементом линейного нормированного пространства 
Нормы в пространстве 
и пространствах 
удобно выбирать согласованно, чтобы имело место равенство
Разбивая (2) на подсистемы (21), мы всегда будем считать, что (22) выполняется.
Удобство разбиения разностной схемы 
на подсистемы (21) состоит в том, что можно говорить о порядке соответствия каждой подсистемы в отдельности решению и задачи 
. За этот порядок принимается порядок убывания нормы 
невязки 
при 
. Порядок аппроксимации всей, разностной схемы 
на решении и задачи 
благодаря согласованному выбору норм (22), равен порядку убывания нормы 
невязки 
при том 
, при котором она убывает медленнее всего.
В примере 2 при разбиении системы (13) на подсистемы (15) — (17), или (18) — (20), пространство F состоит из сеточных функций 
с нормой 
определенных в точках 
, а пространства
одномерны и состоят из чисел с нормой 
. Уравнение (18):
соответствует задаче (14) на решении и со вторым порядком, уравнение 
соответствует точно, а уравнение 
с первым порядком. Чтобы повысить порядок аппроксимации, которым обладает разностная схема (13), с первого до второго относительно h, достаточно «подправить» только граничное условие Заметим, что
Учтем, что 
и что в силу (14)
Положив
мы добьемся того, чтобы выполнялось условие
т. е. чтобы имед место второй относительно h порядок соответствия граничного условия
задаче (14) на решении 
. Таким образом, разностная схема (15), (16), (23) аппроксимирует задачу (14) со вторым порядком относительно 
Разбиение разностной схемы (2) на подсистемы (21) услоьно и делается только для удобства речи. Так, например, систему (13) можно было бы разбить на две подсистемы, отнеся к первой по-прежнему разностное уравнение (15), а ко второй — оба граничных условия (16) и (17). Мы получили бы символическую запись
где
Однако при таком разбиении на подсистемы, в отличие от разбиения (15) — (17) или (18) — (20), мы лишились бы возможности коротко выразить то обстоятельство, что первое граничное условие при подстановке 
выполняется точно, а второе — лишь с первым относительно h порядком.
