5. Разбиение разностной схемы на подсистемы.

Для подробного описания характера аппроксимации нам оказалось удобным говорить не сразу обо всей разностной схеме (13) вида (2)

но отдельно о подсистемах (15), (16), (17). Эти подсистемы (две последние состоят каждая из одного уравнения) можно записать соответственно следующими символическими равенствами:

Для этого надо положить

Для удобства речи и в общем случае разностную схему (2) часто разбивают на две или несколько подсистем:

так что

Правую часть каждой подсистемы удобно считать элементом линейного нормированного пространства

Нормы в пространстве и пространствах удобно выбирать согласованно, чтобы имело место равенство

Разбивая (2) на подсистемы (21), мы всегда будем считать, что (22) выполняется.

Удобство разбиения разностной схемы на подсистемы (21) состоит в том, что можно говорить о порядке соответствия каждой подсистемы в отдельности решению и задачи . За этот порядок принимается порядок убывания нормы невязки

при . Порядок аппроксимации всей, разностной схемы на решении и задачи благодаря согласованному выбору норм (22), равен порядку убывания нормы невязки при том , при котором она убывает медленнее всего.

В примере 2 при разбиении системы (13) на подсистемы (15) — (17), или (18) — (20), пространство F состоит из сеточных функций с нормой определенных в точках , а пространства

одномерны и состоят из чисел с нормой . Уравнение (18):

соответствует задаче (14) на решении и со вторым порядком, уравнение соответствует точно, а уравнение с первым порядком. Чтобы повысить порядок аппроксимации, которым обладает разностная схема (13), с первого до второго относительно h, достаточно «подправить» только граничное условие Заметим, что

Учтем, что и что в силу (14)

Положив

мы добьемся того, чтобы выполнялось условие

т. е. чтобы имед место второй относительно h порядок соответствия граничного условия

задаче (14) на решении . Таким образом, разностная схема (15), (16), (23) аппроксимирует задачу (14) со вторым порядком относительно

Разбиение разностной схемы (2) на подсистемы (21) услоьно и делается только для удобства речи. Так, например, систему (13) можно было бы разбить на две подсистемы, отнеся к первой по-прежнему разностное уравнение (15), а ко второй — оба граничных условия (16) и (17). Мы получили бы символическую запись

где

Однако при таком разбиении на подсистемы, в отличие от разбиения (15) — (17) или (18) — (20), мы лишились бы возможности коротко выразить то обстоятельство, что первое граничное условие при подстановке выполняется точно, а второе — лишь с первым относительно h порядком.