2. Примеры разностных схем для задачи Коши.

Используем условие Куранта, Фридрихса и Леви для анализа нескольких разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши

где заданные «входные данные» задачи (3) и

Решение задачи (3) в какой-либо точке зависит от значений функций во всех тех точках, через которые проходит характеристика дифференциального уравнения (3), выходящая из некоторой точки А оси и входящая в точку Р.

Рис. 16.

Действительно, характеристики здесь — интегральные кривые дифференциального уравнения

т. е. параболы . Вдоль каждой характеристики

Поэтому значение решения в какой-либо точке выражается формулой

где А есть точка на оси отрезок характеристики.

На рис. 16 изображена характеристика выходящая из точки и входящая в точку Мы видим, что значение решения задачи (3) зависит от значения функции в точке А, так что . Далее, зависит от значений на отрезке характеристики . Этот отрезок и есть .

Рассмотрим разностную схему

или

где Покажем, что эта схема не может быть сходящейся ни при каком соотношении шагов , так как ни при каком она не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса и Леви.

Возьмем в качестве точки Р точку (0, 1). Сетку выберем так, чтобы Значение решения — в точке т. е. , в силу разностной формулы (5) выразится через значение и через значения Эти два значения в свою очередь выразятся через и через три значения и т. д. В конечном счете значение выразится через значения функции в точках сетки, отмеченных на рис. 16 крестиками, и через значения функции в точках на оси Таким образом, множество состоит из точек сетки, отмеченных крестиками, а множество из точек на оси (эти множества имеют общие точки на оси Ох). Очевидно, что любая точка Q множества имеет окрестность, в которую не попадают точки множества как бы мало ни было . Разностная схема (4) не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса и Леви, необходимому для сходимости.

Рассмотрим теперь для задачи (3) разностную схему (рис. 17)

или

где

Шаг x сетки выберем из условия целое, так что точка будет принадлежать сетке. Значение решения в этой точке, т. е. в силу формул (7) выразится через и два значения и Эти два значения в свою очередь в силу (7) выражаются через и через три значения и т. д. В конечном счете выражается через значения в точках сетки, отмеченных на рис. 17 крестиками, и через значения функции на оси

Рис. 17.

Таким образом, в этом случае — это множество точек, отмеченных крестиками, а это множество точек на оси Ох. Ясно, что в случае (этот случай не изображен на рисунке) точка лежит левее точки Поэтому существует окрестность точки А, в которую не попадают при точки Условие Куранта, Фридрихса и Леви нарушено, и сходимости ожидать нельзя.

Для того чтобы схема (6) могла оказаться сходящейся необходимо, чтобы Но этого мало. Допустим, что но некоторая точка Q характеристики AQP лежит над прямой ВР, как на рис. 17. Тогда тоже нельзя ожидать сходимости. Значение функции в точке Q оказывает влияние на значение решения дифференциальной задачи, т. е. Q принадлежит множеству . Но значение в точке Q (как и значения на всем участке QP характеристики) не оказывает влияния на значение решения разностного

уравнения в точке существует окрестность точки Q, куда не попадают точки множества . Условие Куранта, фридрихса и Леви не выполнено.

Выбрав настолько малым, чтобы треугольник ОРВ содержал не только точку , но и всю характеристику уже можно доказать устойчивость (и сходимость) разностной схемы (6). Для такого выбора числа учтем, что (в силу дифференциального уравнения характеристики ) величина есть тангенс угла наклона касательной к характеристике к оси есть тангенс угла наклона прямой ВР к оси . Легко понять, что характеристика будет лежать в треугольнике ВОР, если

и тогда условие Куранта, Фридрихса и Леви выполнено.

Покажем, что при условии (8) разностная схема (6), аппроксимирующая задачу Коши (3), устойчива, и следовательно сходится. При этом нормы определим равенствами

Учитывая, что при условии (8)

из равенства (7) получим

Поскольку полученное неравенство

справедливо при любых и любых то

и устойчивость разностной схемы (6) при условии (8) доказана.

Рис. 18.

Ограничение (8) на шаг при заданном шаге можно ослабить, не нарушая условия Куранта, Фридрихса и Леви, если сделать шаг переменным, и выбирать его при переходе от с учетом наклона характеристики вблизи точки а именно из условия

Измененная таким образом схема (6) имеет вид

или

В соответствии с формулой (9) ограничение на шаг менее жесткое, чем при использовании схемы (6) с постоянным шагом. При малых используется шаг и лишь при приближении приходится выбирать (рис. 18). Доказательство устойчивости схемы (10) при условии (9) лишь несущественно отличается от доказательства устойчивости схемы (6) при условии (8): используя неравенство ,

получим в силу (11)

Отсюда следует неравенство

означающее устойчивость.