2. Скорость сходимости решения разностного уравнения.
Теперь перейдем к изучению скорости сходимости при различных конкретных способах выбора 
.
Для определения 
естественно воспользоваться разложением решения дифференциального уравнения и 
по формуле Тейлора. Пользуясь тем, что в силу этого уравнения 
, перепишем формулу Тейлора так:
Такое равенство имеет место для точного решения дифференциального уравнения. При приближенном решении, ограничиваясь двумя членами этого разложения, можно положить
Если мы решили ограничиться только одним членом, то полагаем
В первом из этих двух случаев мы допускаем в начальном значении 
ошибку порядка 
, во втором — ошибку порядка h.
Выясним скорость сходимости в каждом из этих двух случаев задания начальных данных.
Положим
Тогда (см. формулы (9))
Возвращаясь к равенству (12), легко приходим к выводу, который и является нашей целью:
Он формулируется так. Если начальное значение 
задается с точностью до величины порядка 
, то и погрешность в решении будет порядка 
, т. е. разностная схема имеет второй порядок точности.
Можно показать, что даже если задать в качестве 
точное значение 
большей точности, чем порядка 
в решении добиться нельзя. Советуем читателю в качестве упражнения доказать высказанное утверждение.
Легко также проверить, что если в качестве 
задавать не точно b, а любую величину вида 
, то скорость сходимости все равно будет второго порядка.
Перейдем к рассмотрению второго изучаемого нами случая задания начальных данных. Полагаем
При этом
и, следовательно,
Таким образом, если допустить в начальных данных ошибку порядка 
, то и ошибка в решении будет порядка h.
Подведем итог. Мы видели, что рассматриваемая разностная схема
в отличие от схемы
может дать более высокую скорость сходимости, а именно сходимость с остаточным членом порядка 
, а не порядка h, как у второй из этих схем. Для того чтобы добиться второго порядка точности, надо, задавая точное 
выбирать 
отличающимся от значения точного решения дифференциального уравнения в точке 
на величину порядка 
. Можно было бы показать, что и 
можно задавать не точно, а с ошибкой порядка 
От этого порядок скорости сходимости не уменьшится. Уточнение начальных данных до порядка 
и выше не дает увеличения точности решения.
Если задавать начальные данные с ошибкой порядка 
, то и решение получим с ошибкой того же порядка.
