4. Примеры.
Пример 1. Разностная схема (5) ввиду оценки (11) аппроксимирует задачу (4) с первым порядком относительно h. Разностную схему (5) легко усовершенствовать так, чтобы аппроксимация стала порядка 
. Для этого заметим, что все компоненты вектора 
кроме последней, стремятся к нулю, как 
(предпоследняя даже в точности равна нулю).
Только последняя компонента вектора 
, т. е. невязка от подстановки 
в последнее уравнение 
системы (5) стремится к нулю медленнее, а именно как первая степень А. Это досадное обстоятельство легко устранить. По формуле Тейлора
Но из дифференциального уравнения (4) находим
Поэтому, заменив последнее равенство (5) равенством
получим для 
вместо (7) выражение
Тогда окажется, что
и 
, где 
— некоторая постоянная, не зависящая от h. Порядок аппроксимации станет вторым относительно h.
Подчеркнем, что для построения разностного граничного условия (12) мы использовали не только граничные условия задачи (4), но и самое дифференциальное уравнение. Можно считать, что мы использовали граничное условие
которое является следствием дифференциального уравнения.
Пример 2. Выясним, каков порядок аппроксимации, которым обладает разностная схема
на решении и задачи
Подобную схему мы рассматривали в § 8 еще до того, как было введено строгое понятие аппроксимации.
Роль 
здесь играет
Далее,
или
Так как для решения 
выполнено равенство
то невязка 
имеет вид
Аппроксимация задачи (14) схемой (13) имеет первый относительно h порядок. Бросается в глаза, что компоненты невязки, как и в примере 1, имеют различный порядок относительно h. Разностное уравнение
при подстановке 
удовлетворяется с невязкой 
рядка 
Первое граничное условие
при подстановке 
выполнено точно, а второе
- с невязкой 
порядка первой степени h.
Погрешность аппроксимации мы оценили через
В рассматриваемом примере точное решение
позволяет оценить эти максимумы через данные задачи 
В более сложных примерах приходится ограничиваться грубой оценкой этих производных, основанной на теореме о дифференцируемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений в случае гладких правых частей.
