ГЛАВА 5. СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КАК СЛЕДСТВИЕ АППРОКСИМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ

В гл. 4 мы на примерах выяснили, что такое аппроксимация дифференциальной задачи разностной задачей и в чем состоит сходимость, благодаря которой решение дифференциальной задачи можно приближенно вычислять по разностной схеме. Мы познакомились с явлением неустойчивости, которое может сделать разностную схему расходящейся и непригодной для вычислений. Анализ поведения решений в этих элементарных вводных примерах, предназначенных только для предварительного знакомства с основными понятиями, был основан на записи решений в виде формул. Такая запись оказалась возможной лишь благодаря специальному подбору примеров.

В этой главе мы дадим строгие определения понятий сходимости, аппроксимации и устойчивости. Мы покажем, что доказательство сходимости не обязательно основывать на анализе формул для решений. Это доказательство можно разбить на проверку аппроксимации дифференциальной задачи разностной и проверку устойчивости разностной задачи.

§ 10. Сходимость разностной схемы

1. Понятие о сетке и сеточной функции.

Пусть на некотором отрезке D поставлена некоторая дифференциальная краевая задача. Это значит, что задано дифференциальное уравнение (или система), которому должно удовлетворять решение и на отрезке D и дополнительные условия для и на одном или на обоих концах отрезка. Дифференциальную краевую задачу будем записывать в виде символического равенства

где L — заданный дифференциальный оператор, — заданная правая часть. Так, например, чтобы записать в виде (1) задачу

достаточно положить

Задача

запишется в виде (1), если положить

Для записи в виде (1) задачи

с краевыми условиями на обоих концах отрезка надо положить

Краевая задача для системы дифференциальных уравнений

будет записана в форме (1), если считать и вектор-функцией и положить

Во всех примерах мы рассматриваем задачу на отрезке не на каком-либо другом, только для определенности.

Будем предполагать, что решение задачи (1) на отрезке существует. Для вычисления этого решения с помощью метода конечных разностей, или метода сеток, надо прежде всего выбрать на отрезке D конечное число точек, совокупность которых будем называть сеткой и обозначать через , а затем считать искомым не решение задачи (1), а таблицу значений этого решения в точках сетки . Предполагается, что сетка зависит от параметра который может принимать сколь угодно малые положительные значения. При стремлении «шага сетки» h к нулю сетка должна становиться все «гуще». Например, можно положить , где N — какое-нибудь натуральное число, и принять за сетку совокупность точек . Искомая сеточная функция в этом случае в точке сетки принимает значение которое для краткости будем обозначать .

Для приближенного вычисления таблицы значений решения в случае задачи (2) можно воспользоваться, например, системой уравнений

полученной в результате замены производной в точках сетки разностным отношением по приближенной формуле

Решение системы (6) определено на той же сетке что и искомая сеточная функция . Его значения в точках последовательно вычисляются из (6) при Для краткости в уравнении (6) мы не пишем значок h при . Как правило, мы будем так же поступать в аналогичных случаях и в дальнейшем.

В случае задачи (4) для отыскания сеточной функции приближенно совпадающей с искомой таблицей решения можно воспользоваться разностной схемой

Эта схема возникает в результате замены в точках сетки производной входящей в дифференциальное уравнение, по приближенной формуле

Для вычисления решения задачи (7) можно воспользоваться алгоритмом исключения — прогонки, описанным в § 5.

Выпишем еще разностную схему, пригодную для вычисления решения задачи (5):

Здесь задано. При из уравнений (9) можно найти Вообще, зная , можно при вычислить

В рассмотренных примерах сетка состоит из удаленных друг от друга на расстояние h точек. Ясно, что можно было бы расположить точек сетки на отрезке [0, 1] не равномерно, а так, чтобы где не равные между собой числа, однако такие, что при Выбором расположения узлов сетки можно добиться того, чтобы искомая таблица решения была подробнее при данном фиксированном на тех участках, где более быстро изменяется. Такие участки иногда бывают заранее известны из физики или из предвари тельных грубых расчетов. Информация о скорости изменения выявляется также в ходе последовательного вычисления и может быть учтена при выборе следующего узла сетки

Мы ограничимся приведенными примерами для иллюстрации понятия сетки и искомой сеточной функции (или вектор-функции) — таблицы значений решения Заметим только, что в качестве искомой таблицы значений решения не обязательно рассматривать сеточную функцию, совпадающую с решением и в точках сетки. Возможны и другие способы установления соответствия между функцией и ее таблицей. Например, таблицей можно считать сеточную функцию , определенную в точках равенством

Такой способ установления соответствия удобен в случае, когда не является непрерывной функцией, но известно, что интеграл от нее по любому отрезку существует. Это может быть, например, при рассмотрении обобщенных — разрывных — решений, если существует

Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем считать, что и— непрерывная функция, а под понимать сеточную функцию, совпадающую точках сетки.

Мы ставим вопрос о вычислении сеточной функции потому, что при измельчении сетки, т. е. при она является все более подробной таблицей искомого решения и и дает о нем все более полное представление. Пользуясь интерполяцией, можно было бы с возрастающей при точностью восстановить решение и всюду в области D. Ясно, что точность, с которой это можно сделать при заданном фиксированном числе и расположении узлов сетки зависит от дополнительно известных сведений о решении типа оценок для его производных, а также от расположения узлов сетки

Ограничимся этими беглыми замечаниями о восстановлении функции и по ее таблице Подробное рассмотрение вопросов восстановления функции по ее таблице составляет предмет теории интерполяции. Мы будем заниматься только задачей вычисления таблицы Поэтому условимся считать, что задача (1) решена точно, если найдена сеточная функция Однако нам не удастся вычислять ее точно. Вместо сеточной функции будем искать другую сеточную функцию которая «сходится» к при измельчении сетки. Для этой цели можно использовать разностные уравнения.