2. Доказательство критерия хорошей обусловленности.

В п. 5 § 4 сформулирован критерий хорошей обусловленности задачи (1) при условиях гладкости коэффициентов

и условиях

Для хорошей обусловленности задачи (1) при условиях (14), (14) необходимо и достаточно, чтобы корни квадратного уравнения

удовлетворяли неравенствам

где не зависит от .

Необходимость доказывается примерно таким же способом, как это сделано в п. 4 § 4 при рассмотрении случая постоянных коэффициентов, и мы не будем на этом останавливаться.

При доказательстве достаточности мы будем пользоваться указанным в п. 6 § 4 критерием хорошей обусловленности (15) разностной краевой задачи

с постоянными коэффициентами, где произвольные целые числа. В отличие от § 4 мы нумеруем компоненты решения не номерами а номерами

, что не меняет дела. Задача (16) всегда имеет решение, причем при всех , справедлива оценка (30) § 4:

а при оценка (31) § 4:

где

Выберем , положив

Будем считать N настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

Переходим к доказательству хорошей обусловленности задачи (1). Рассмотрим краевую задачу вида,

где — произвольные фиксированные числа, . В частном случае эта задача совпадает с задачей (1), а вообще получается из задачи (1) некоторым «урезанием» — отбрасыванием уравнений при и заданием . Мы покажем, что при произвольном N, удовлетворяющем условию (20), задача (21) однозначно разрешима при произвольных правых частях, причем числа , удовлетворяют оценке вида

где М — некоторая постоянная, зависящая от , но не от N, p, q.

Рассмотрим отдельно случай и случай .

Если коэффициенты задачи при любых и удовлетворяют в силу условий гладкости

(14) и благодаря тому, что N в соответствии с (20) достаточно велико, следующим оценкам:

Эти коэффициенты «почти» постоянны и не более чем на отличаются от коэффициентов задачи (16), где в качестве а, b, с выбраны . Решение задачи (16) удовлетворяет оценке (17). Число s выбрано по формуле (19) в соответствии с требованием (4). Поэтому для оценки решения задачи (21) можно воспользоваться неравенством (5):

Рассмотрим теперь случай в частности Предположим, что при некоторых фиксированных существует решение . Выберем последовательность целых чисел так, чтобы выполнялись неравенства

Решение задачи с постоянными коэффициентами

где

при в силу неравенств

удовлетворяет оценке (18):

где

Задачу

можно рассматривать как возмущение задачи (25), причем коэффициенты задачи (26) в силу неравенства не более чем на отличаются от коэффициентов задачи (25). Можно воспользоваться оценкой (12) для решения возмущенной задачи. При получим

Следовательно,

Отсюда

Теперь для произвольного найдем между которыми оно заключено, и воспользуемся оценкой (23):

Оценка (27), полученная при в силу (23) остается справедливой и для . Задача (21) разрешима при произвольных правых частях, так как из оценки (27) видно, что при существует только нулевое решение.

Мы завершили доказательство того, что при условиях гладкости (14) и при условиях (14) условие (15) является критерием хорошей обусловленности задачи (1).

Следующий пример показывает, что условия гладкости (14) нельзя игнорировать.

Легко проверить, что разностная краевая задача

где имеет при любом натуральном нетривиальное решение

Следовательно, эта краевая задача не является хорошо обусловленной, несмотря на то что

т. е.