2. Алгоритм вычисления спектра в общем случае.

Теорема. Пусть оператор задан равенством где некоторые линейные операторы, определенные на конечномерном линейном нормированном пространстве со значениями из некоторого линейного нормированного пространства Пусть, далее, операторы равномерно по h ограничены, а оператор имеет равномерно ограниченный обратный

В таком случае спектр семейства операторов не содержит тех и только тех на комплексной плоскости, при которых оператор имеет при всех достаточно малых h равномерно по h ограниченный обратный оператор.

Доказательство очевидно, и мы его излагать не будем.

Пусть теперь оператор задан разностными соотношениями

причем задача

хорошо обусловлена.

Предполагается, что

где - квадратные матрицы, определенные на отрезке , удовлетворяющие. на этом отрезке условиям гладкости прямоугольные числовые матрицы, не зависящие от М. В таком случае применима теорема и спектр семейства операторов состоит из всех тех , для которых разностная краевая задача

не является хорошо обусловленной. Для выяснения того, является ли задача (20) хорошо обусловленной, при каждом можно воспользоваться критерием п. 7 § 4.