ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОБЫКНОВЕННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ГЛАВА 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

§ 1. Простейшие разностные уравнения

1. Разностные уравнения.

Для дифференциального уравнения первого порядка

мы построили во введении две разностные схемы:

которые можно записать соответственно в виде

Для дифференциального уравнения второго порядка

во введении было построено разностное уравнение

или, в другой записи,

Приведенные здесь примеры разностных уравнений, приближающих простейшие дифференциальные, принадлежат к одному из следующих двух видов:

Если последовательность точек, делящих ось Ох на отрезки длины , занумеровать слева направо так, чтобы и обозначить через через то мы можем переписать наши разностные схемы в виде уравнений

В §§ 1—4 мы займемся изучением разностных уравнений вида (4) и (5), причем не будем интересоваться, являются ли эти уравнения разностными схемами для каких-либо дифференциальных уравнений.

В уравнениях (4) и (5) неизвестные образуют последовательность

Мы будем часто сопоставлять эту последовательность с последовательностью точек, занумерованных числами

или, как иногда говорят, с сеткой.

Последовательность можно считать функцией и, заданной в точках сетки. Тогда есть значение сеточной функции и в точке, имеющей номер k. На рис. 1 приведен график некоторой сеточной функции . Этот график есть совокупность точек на плоскости

После того как мы отказались от рассмотрения связи разностных уравнений с дифференциальными, нам вовсе не обязательно считать, что расстояние между двумя соседними точками равно h. Можно выбрать его произвольным, например равным единице, а в качестве взять точку нуль. Тогда сеточная функция и будет определена в точках с целыми координатами

Будем считать для простоты, что коэффициенты а, b, с уравнений (4), (5) постоянны. Говоря, что изучаемые уравнения

Рис. 1.

являются уравнениями с постоянными коэффициентами, мы имеем в виду независимость этих коэффициентов от номера , например, уравнение

не является уравнением с постоянными коэффициентами.

Мы будем рассматривать только такие уравнения (4), у которых а и b отличны от нуля. В уравнении (5) отличными от нуля будем считать коэффициенты а и с.

Последовательность называется правой частью рассматриваемых уравнений.

Если предполагать, что последовательность определена во всех целых точках и не накладывать на эту последовательность никаких дальнейших ограничений, то легко видеть, что уравнения (4) и (5) имеют много решений. Например, уравнение допускает как решение так и- решение

Чтобы выделить единственное решение уравнения (4)

достаточно задать значение этого решения в какой-нибудь одной целой точке , т. е. задать . В самом деле, уравнение (4) можно записать в виде рекуррентной формулы

из которой при последовательно определяются , т. е. все при Записывая уравнение в виде другой рекуррентной формулы:

мы таким же путем определим все при

Для выделения единственного решения уравнения (5)

достаточно задать произвольно значения и в каких-нибудь двух последовательных целых точках, например задать значения . Доказательство немедленно следует из того, что рассматриваемое уравнение может быть переписано в виде следующих двух рекуррентных формул:

2. Порядок разностного уравнения.

Повторим еще раз полученный результат и сформулируем понятие порядка для разностных уравнений (4) и (5).

Для выделения единственного решения уравнения (4)

достаточно задать значение и в одной точке. Такое уравнение называется уравнением первого порядка. Для выделения единственного решения уравнения (5)

достаточно задать значения решения в двух последовательных точках. В связи С этим такое уравнение называется уравнением второго порядка.

Можно было бы еще рассмотреть простейшее уравнение

решение которого определяется единственным образом без наложения каких-либо предварительных ограничений на последовательность . Такое уравнение естественно назвать уравнением нулевого порядка.

Простейшая разностная схема (1) для дифференциального уравнения первого порядка и является разностным уравнением первого порядка.

Схема (3) для дифференциального уравнения второго порядка и имеет второй порядок.

Пример схемы (2)

для уравнения и показывает, что порядок разностного уравнения может быть больше порядка дифференциального уравнения. В этом примере дифференциальное уравнение имеет первый порядок, а соответствующее ему разностное уравнение — второй.

3. Общее решение разностного уравнения.

Опишем теперь структуру решений изучаемых разностных уравнений. Сначала рассмотрим однородное уравнение

Обозначим через решение уравнения (6), удовлетворяющее начальному условию Очевидно, что также будет решением однородного уравнения при произвольном выборе постоянной а. Нетрудно показать, что любое решение однородного уравнения (6) может быть представлено в таком виде. В самом деле, каждое решение однозначно определяется своим

значением при . Но решение принимающее заданное значение получается по формуле если в качестве множителя а взять число

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4)

Пусть два каких-нибудь его решения. Вычитая друг из друга равенства

мы видим, что разность удовлетворяет однородному уравнению Поэтому любое решение можно записать в виде

при подходящем выборе постоянной а. Легко проверить, с другой стороны, что при произвольном выборе а формула задает некоторое решение неоднородного уравнения:

Итак, мы показали, что общее решение однородного уравнения (6)

имеет вид

где — решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию а произвольная постоянная.

Общее решение неоднородного уравнения (4)

может быть представлено в виде

где - какое-нибудь частное решение этого неоднородного уравнения, произвольная постоянная.

Аналогичное утверждение и аналогичными рассуждениями можно доказать и для разностного уравнения второго порядка. Мы не будем эти рассуждения приводить (читатель их без труда восстановит), а только сформулируем окончательный результат.

Общее решение однородного разностного уравнения

может быть представлено в виде

где частные решения уравнения (7), удовлетворяющие начальным условиям

а — произвольные постоянные.

Общее решение неоднородного уравнения (5)

может быть представлено в виде

где — какое-нибудь частное решение этого неоднородного уравнения.

Все результаты и рассуждения этого параграфа могли бы быть дословно повторены и для разйостных уравнений с переменными коэффициентами, но мы на этом не останавливаемся, чтобы не усложнять изложение несущественными подробностями.