§ 43. Некоторые способы оценки норм степеней операторов

В §§ 41, 42 было показано, что эволюционные разностные схемы

обычно можно привести к виду

так, чтобы устойчивость была равносильна равномерной по h ограниченности норм степеней оператора перехода

Поскольку условия (3) равносильны устойчивости, то любой способ исследования устойчивости есть также способ проверки того, выполняются ли неравенства (3).

Здесь мы изложим с точки зрения оценки норм степеней операторов некоторые подходы к исследованию устойчивости, встречавшиеся уже в гл. 8, дополнив эти подходы новыми аспектами.

1. Необходимые спектральные условия ограниченности

Пусть — какое-нибудь собственное число оператора соответствующий собственный вектор, Тогда и поэтому Поскольку — произвольное собственное число, то

где - наибольшее из собственных чисел оператора силу (4) очевидно (см. § 15), что для выполнения условия (3) должен существовать круг

на комплексной плоскости с постоянной с, не зависящей от , в котором лежат все собственные числа оператора

Проведенные рассуждения лишь несущественно усложнятся, а результат не изменится, если в качестве рассматривать не только собственные значения оператора , но и все его точки спектра. В случае, если конечномерное пространство, спектр оператора не зависит от выбора нормы и целиком состоит из собственных значений. Это — важнейший случай, естественно возникающий при аппроксимации дифференциальных краевых задач в ограниченной области разностными задачами на сетке состоящей из конечного числа узлов. В этом случае условие (5) необходимо для выполнения условия (3) независимо от выбора нормы. Если необходимый спектральный признак устойчивости не выполнен, задача безнадежно неустойчива — этого нельзя поправить никаким разумным выбором норм. Аналогичную ситуацию мы подробно разбирали для случая обыкновенных разностных уравнений в § 15.

Выявим связь между спектральным признаком Неймана устойчивости разностной задачи Коши, рассмотренным в § 25, и спектральным признаком (5) равномерной ограниченности (3) норм степеней оператора Воспользуемся для этого, например, разностной схемой

аппроксимирующей задачу Коши

Мы исследовали ее устойчивость с помощью признака Неймана в § 25.

Перепишем рассматриваемую схему в каноническом виде (2), определив формулами

Определим норму в формулой Тогда функции при любом вещественном а принадлежат пространству и являются собственными функциями оператора

где

является собственным числом. Условие устойчивости (5) ввиду независимости от сводится к требованию которое выполняется при всех вещественных а при 1.

Как показано в § 25, условие (5) в случае задачи Коши для двуслойных разностных схем относительно одной искомой сеточной функции не только необходимо, но и достаточно для устойчивости, если норма определена равенством

(В этом случае не принадлежат пространству и, следовательно, не являются собственными функциями, но точки (7) все равно принадлежат спектру оператора )