3. Пример вариационно-разностной схемы для третьей краевой задачи.

Рассмотрим третью краевую задачу (В) § 38:

Пусть при некотором N, принадлежащем заданной возрастающей последовательности натуральных чисел выбрана сетка и система базисных функций удовлетворяющих условию (1)

Тогда для коэффициентов линейной комбинации

придающей минимум функционалу на классе всех функций вида система уравнений Ритца (35) § 38 запишется как следующая вариационно-разностная схема:

Несколько конкретизируем выбор сетки и базисных функций. Для заданного натурального N впишем в контур Г замкнутую несамопересекающуюся ломаную с вершинами в точках и ограничивающую многоугольник . Разобъем этот многоугольник на треугольники так, чтобы каждые два из них либо не пересекались, либо имели общую вершину, либо имели общую сторону и чтобы общее число вершин

этих треугольников, включая вершины оказалось равно N. Совокупность всех этих вершин примем за сетку. Обозначим точки сетки через причем положим для определенности для Определим теперь базисную функцию следующим образом. Сначала зададим ее в точках сетки в соответствии с условием (1):

Рис. 49.

Затем определим ее в каждом треугольнике разбиения так, чтобы она оказалась в этомтреугольнике линейной функцией, принимающей в его вершинах значения по формуле (27). Таким образом, функция уже определена всюду в многоугольнике Определим ее теперь в области и на границе Г. Область состоит из лунок, каждая из которых ограничена одним из звеньев ломаной и стягиваемой этим звеном как хордой дугой контура Г. Фиксируем произвольно одну из этих лунок и рассмотрим треугольник из разбиения для которого хорда этой лунки является одной из его сторон. В этом треугольнике функция уже определена и является линейной функцией (быть может, тождественным нулем). Определим теперь внутри лунки и на ее границе так, чтобы осталась линейной функцией в области, образованной присоединением лунки к треугольнику (эта область заштрихована на рис. 49). Проделав такое доопределение в каждой из лунок, мы завершим построение функции

Теперь коэффициенты и правые части вариационно-разностной схемы (26) приняли определенные численные значения.

Заметим, что если точки Р и не являются вершинами одного и того же треугольника разбиения, то соответствующий коэффициент схемы (26) обращается в нуль.

Обсудим теперь вопрос о точности приближенного решения, найденного с помощью схемы (26). В силу теоремы 4 § 38

Далее, в силу равенства (8) § 38 и (28)

Пусть о точном решении известно лишь, что оно принадлежит некоторому множеству функций V. Тогда для разности — v в силу равенства (29) гарантированы лишь следующие оценки:

где

и — линейное -мерное пространство, натянутое на выбранную нами систему базисных функций Рассмотрим теперь случай, когда V состоит из всех функций, имеющих непрерывные вторые производные, не превосходящие по модулю некоторого числа.

В следующей теореме 2 сформулированы дополнительные требования к сетке при выполнении которых

Теорема 2. Пусть V — множество всех функций, имеющих непрерывные вторые производные, не превосходящие некоторого числа М по модулю. Пусть, далее, построенная выше сетка подчинена следующим двум дополнительным требованиям.

1°. Длина l каждой стороны любого из треугольников разбиения удовлетворяет оценке

некоторая постоянная.

2°. Каждый угол а любого треугольника разбиения удовлетворяет оценке

где — некоторая постоянная, не зависящая от

Тогда справедлива оценка (32).

Доказательство. Из определения (31) величины следует, что для доказательства оценки (32) достаточно для каждой функции построить такую функцию для которой имеет место неравенство

с постоянной А, не зависящей от u и от h. Покажем, что такой функцией может служить функция

В силу структуры левой части неравенства (33) достаточно показать, что имеют место следующие неравенства:

где — некоторые постоянные. Неравенства (35) доказываются почти дословно так же, как неравенства (18), установленные выше в многоугольнике Для доказательства неравенства (36) заметим, что в силу неравенств (35), имеющих место и на границе Г, производная

функции и вдоль границы не превосходит по модулю числа Здесь — угол между направлением границы в данной очке и осью . Далее в точках , имеют место равенства . Поэтому в произвольной точке Q границы

где — расстояние от точки Q до ближайшей к ней точке сетки, измеренное вдоль границы Г. Теорема доказана.