ГЛАВА 14. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Здесь мы покажем, что по спектру несамосопряженного оператора нельзя судить об устойчивости разностной краевой задачи в ограниченной области, введем понятие спектра семейства операторов и рассмотрим спектральную постановку вопроса об устойчивости, остающуюся разумной и в случае несамосопряженных разностных краевых задач в ограниченных областях. Будет указан необходимый и близкий к достаточному спектральный признак устойчивости.

§ 44. Спектр семейства операторов {Rh}

1. Необходимость усовершенствования спектрального признака устойчивости.

В гл. 13 было показано, что обычно эволюционные разностные краевые задачи можно привести к виду

так, чтобы устойчивость на интервале времени была равносильна равномерной по h ограниченности норм степеней оператора перехода т. е. оценке

где — шаг сетки по времени, .

Было установлено, что расположение собственных значений оператора внутри круга

на комплексной плоскости необходимо для выполнения условия (2), т. е. для устойчивости. В § 43 было показано, что в случае самосопряженного оператора условие (3) является не только необходимым, но и достаточным условием равномерной

ограниченности (2) норм степеней оператора Этот же факт установлен в § 25 и для разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами в случае двуслойных разностных схем относительно одной неизвестной функции независимо от того, имеет ли место самосопряженность. Однако в общем случае несамосопряженных разностных краевых задач в ограниченных областях необходимый признак (3) очень далек от достаточного и совершенно неадекватен вопросу о равномерной ограниченности (2) норм степеней оператора Это показывает следующий пример.

Пример. Для разностной краевой задачи

аппроксимирующей задачу

при естественном приведении к каноническому виду (1) оператор задается формулами

Его матрица имеет вид

Спектр матрицы состоит из ее собственных значений, т. е. из корней уравнения

Корни этого уравнения образуют спектр оператора при любом h. Этот спектр лежит в единичном круге при . Между тем для схемы (4) при не выполнено условие Куранта, Фридрихса и Леви, так что устойчивости ни в какой разумной норме быть не может.

В самом деле, покажем, что в случае и нормы

справедливо неравенство

При также так что при величина экспоненциально возрастает и условие грубо нарушается. Для доказательства неравенства (6) заметим, что в случае , значения функции

задаются формулой

Поэтому

так что при этих значениях и неравенство (6) доказано.

Итак, установлено, что необходимый спектральный признак (3) равномерной ограниченности использующий собственные значения операторов слишком груб в случае несамосопряженных операторов в нашем примере он не улавливает неустойчивость, имеющую место при

Определение спектра семейства операторов. Пусть линейный оператор определен на линейном нормированном пространстве

Будем обозначать через совокупность операторов при всех тех значениях , которые принимает параметр h, характеризующий густоту сетки. По самой природе разностных схем шаг сетки h может принимать сколь угодно малые положительные значения.

Комплексное число Я будем называть точкой спектра семейства операторов если для любых положительных можно указать такое что неравенство

имеет некоторое решение

Совокупность всех таких чисел А будем называть спектром семейства операторов