5. Критерий хорошей обусловленности задачи с переменными коэффициентами.

Критерий (12) хорошей обусловленности краевой задачи для разностного уравнения с постоянными коэффициентами, сформулированный в предыдущем пункте, обобщается на случай задачи

с переменными коэффициентами, если только эти коэффициенты изменяются достаточно «плавно». Сформулируем это обобщение точно, причем относительно уравнения (1) будем предполагать, что его коэффициенты ограничены в совокупности, и что все три коэффициента ни при каком одновременно не становятся малыми:

Предполагается, что М и В не зависят от .

Теорема. Пусть коэффициенты задачи (1), (2) удовлетворяют условиям

Тогда для хорошей обусловленности задачи (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы корни квадратного уравнения

удовлетворяли условию вида

где — некоторое число, не зависящее от N и .

Условия (14) выражают требование гладкости коэффициентов. Они выполнены, например, если

где - некоторые функции, определенные на отрезке и удовлетворяющие условию Гёльдера:

Уравнение (15) является характеристическим уравнением, построенным для разностного уравнения

с постоянными коэффициентами а, b, с, совпадающими со значениями переменных коэффициентов при зафиксированном , т. е. .

Если вещественные коэффициенты, то в силу п. 3 § 3 условие (16) можно заменить легко проверяемым условием

где не зависит от N и .

Сформулированный критерий (14), (16) или (14), (17) будет доказан в § 6. Там же будет показано, что условия гладкости (14) игнорировать нельзя.

Заметим, что если то условие (17) совпадает с условием (8) и обеспечивает хорошую обусловленность и без предположений о гладкости и вещественности коэффициентов.