3. Вариационный метод Ритца.

Из теорем 3 и 4 в силу неравенств (10) и (11) следует, что приближениями для решений и и v краевых задач (А) и (В) могут служить те функции до из числа допустимых (до ) для задачи (А) и для задачи на которых функционалы принимают значения, близкие к минимальным значениям этих функционалов на соответствующих классах допустимых функций.

Для фактического отыскания приближенных решений Ритцем в 1908 г. был предложен прием, который мы изложим сначала применительно к задаче (А). Для удобства изложения будем считать, что в краевом условии так что . К этому приводится общий случай путем перехода к искомой функции где какая-нибудь дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевому условию Формальная схема отыскания приближенного решения по методу Ритца состоит в следующем. Обозначим через W линейное подпространство всех функций , удовлетворяющих граничному условию до . Зададим натуральное N и фиксируем какие-нибудь N линейно-независимых функций

удовлетворяющих условию

Рассмотрим теперь -мерное линейное пространство все» возможных линейных комбинаций функций (22)

где произвольные вещественные числа.

Будем искать теперь вместо функции , придающей минимум функционалу на пространстве W, такую функцию которая придает минимум функционалу на множестве всех функций из -мерного пространства

. Эту функцию и примем за приближенное решение при сделанном выборе N базисных функций (22). Задача об отыскании функции несравненно проще задачи отыскания точного решения Действительно,

и речь идет об отыскании N чисел придающих минимум функции от N переменных. Покажем, что такой набор чисел существует. Первое слагаемое в правой части выражения (24) есть квадратичная форма от Ввиду линейной независимости системы функций (22) эта форма при строго положительна, так как в противном случае она была бы при некотором наборе чисел равна нулю и мы имели бы в силу (21)

откуда, вопреки линейной независимости,

Из-за доказанной положительной определенности квадратичной формы выражение (24) имеет единственный минимум. Этот минимум достигается при тех значениях при которых

Подробно линейная система уравнений (25) относительно чисел может быть записана в виде

Для более краткой записи этой системы и удобства речи в дальнейшем наряду с нормированным пространством W рассмотрим линейное пространство состоящее из тех же функций, что и W, но со скалярным умножением ()

где — какая-нибудь фиксированная функция. Это скалярное умножение индуцирует норму в пространстве W по формуле

Обозначим подпространство функций удовлетворяющих условию

После введения скалярного умножения система (26) благодаря условию примет вид

Заметим, что матрица системы (29)

есть матрица Грама системы линейно независимых функций (22). Как известно из курса линейной алгебры, ее определитель отличен от нуля.

Решение системы (29) и доставляет

которую принимают за приближенное решение. Функция допускает простое геометрическое истолкование.

В силу (4) и (27) имеем

Далее

Таким образом, есть тот элемент линейного -мерного пространства , натянутого на базис (22), который наименее уклоняется от и в смысле нормы (28), т. е. есть проекция решения и в подпространство в смысле скалярного произведения (27).

Мы закончили формальное изложение схемы Ритца для отыскания приближенного решения.

Выясним теперь, от чего зависит близость приближенного решения

найденного по методу Ритца, к точному решению и задачи (А), в которой мы условились считать Понятно, что число и зависит от выбора базисных функций (22). Если бы, например, базисные функции (22) были выбраны так (невероятный случай!), чтобы функция и оказалась одной из функций -мерного пространства , натянутого на базис (22), то приближенное решение совпало бы с точным решением и. В самом деле,

и в силу теоремы 3

Однако функция и нам неизвестна, а известны только некоторые ее свойства, которыми обладает не только она, но и целый класс U функций. Например, пусть известно, что вторые производные функции и непрерывны и ограничены постоянной М. Тогда класс U состоит из всех дважды непрерывно дифференцируемых функций, вторые производные которых не превосходят М и которые удовлетворяют условию и

Напомним, что для решения и и любого

и в силу теоремы 3

Поэтому выбор базисных функций надо по возможности осуществить так, чтобы для каждой функции нашлась

функция «близкая» к ней, т. е. такая, для которой Тогда, в частности, будет «мала» величина

а вместе с тем будет «мала» и величина

Говоря точно, наилучшим был бы такой выбор функций котором число

было бы наименьшим возможным. Обозначим число

Это число называется -мерным колмогоровским поперечником класса функций U относительно нормированного пространства Очевидно, что наилучшим выбором функций (22) был бы такой, при котором число (30) совпадало бы с поперечником

А. Н. Колмогорова При любом существует, очевидно, набор базисных функций (22), для которых

N-мерный поперечник А. Н. Колмогорова множества X, лежащего в линейном нормированнном пространстве У относительно этого пространства определяется формулой

где — произвольное фиксированное -мерное линейное многообразие (гиперплоскость).

Поперечники сосчитаны во многих случаях. В частности, известно, что для класса всех функций имеющих ограниченные некоторой общей константой непрерывные вторые производные

При учете дополнительных сведений об искомом решении и, найденных при предварительном анализе задачи или в результате опыта решения близких задач, сужается класс U, а при этом поперечники могут только уменьшаться.

Поэтому искусство и опыт вычислителя состоят в том, чтобы уметь выбрать узкий класс U, содержащий искомое решение и, а затем выбрать при заданном N базисные функции (22) так, чтобы число введенное равенством (30), не слишком сильно превосходило -мерный поперечник Тогда в правой части неравенства

будет стоять число, близкое к , которое с ростом стремится к нулю, и притом тем быстрее, чем уже класс . Если произвести достаточно полный учет особенностей решения и, которые удалось выяснить до вычислений, а затем в соответствии с этим хорошо выбрать базисные функции, то достаточно точные приближения получатся уже при малых значениях N. Но объем вычислительной работы, которая состоит в вычислении коэффициентов и решении системы (26), зависит именно от N. Таким образом, получится экономный вычислительный алгоритм.

Проиллюстрируем применение метода Ритца еще одним примером: рассмотрим задачу (В). После того, как система базисных функций (22) выбрана, ищем приближенное решение

в пространстве всех линейных комбинаций, подбирая постоянные так, чтобы выражение

приняло наименьшее значение. Для этого числа надо определить из системы уравнений

Будем считать, что в определении (27) скалярного умножения функция совпадает с той, которая входит в краевое условие задачи (В).

Тогда система уравнений (34) примет вид

Решение этой системы и дает искомое приближенное решение задачи

Для функции и решения v задачи (В) в силу равенства (8)

где U — тот класс функций, которому принадлежит решение о задачи (В). Из последнего неравенства видно, что базисные функции надо выбирать так, чтобы правая часть этого неравенства была возможно меньше. При этом подчинение базисных функций каким-либо граничным условиям не является обязательным, в отличие от того, как это было в предыдущем примере.