2. Пример вариационно-разностной схемы для первой краевой задачи.

Фиксируем натуральное N. Впишем в контур Г. ограничивающий область D, замкнутую несамопересекающуюся, ломаную с вершинами в некоторых точках Обозначим многоугольник через

Разобьем многоугольник Он на треугольники так, чтобы каждое звено ломаной оказалось стороной одного из треугольников и чтобы каждые два треугольника этого разбиения либо не пересекались, либо имели общую вершину, либо имели общую сторону и чтобы общее число вершин этих треугольников, лежащих внутри многоугольника DN, равнялось N. Совокупность точек и примем за сетку (рис. 47). Теперь построим базисные функции Определим базисную функцию Сначала зададим ее в точках сетки по формуле (1)

Затем зададим ее в точках положив ее равной нулю в этих точках. Таким образом, функция уже определена во всех вершинах треугольников, образующих разбиение . В каждом из этих треугольников доопределим ее линейно. Осталось определить ее в области где мы положим ее равной нулю.

Заметим, что в тех треугольниках, для которых не является одной из вершин, функция при нашем построении

Рис. 47.

окажется равной нулю. В треугольнике с вершиной в точке функция в пространстве изобразится куском плоскости (рис. 48), проходящей через сторону, лежащую против вершины и приподнятой на единицу над точкой Система уравнений Ритца (29), § 38, для определения коэффициентов , задающих приближенное решение

имеет вид

Рис. 48.

Это и есть вариационно-разностная схема, возникающая при сделанном выборе сетки и базисных функций.

Матрица этой разностной схемы

имеет элементами числа

Очевидно, что только те числа могут отличаться от нуля, для которых точки являются вершинами одного и того же треугольника разбиения. Действительно, если и не являются соседними точками сетки в этом смысле, то области, в которых и не пересекаются, а потому подынтегральное выражение в формуле (3) всюду в области интегрирования D тождественно обращается в нуль.

Таким образом, уравнение из числа образующих вариационно-разностную схему (2), связывает значения искомой функции в точке со значениями этой функции только в тех точках сетки, которые являются для нее соседними.

Вычисление коэффициентов по формуле трудностей не вызывает. Действительно, коэффициент представляет

собой интеграл от величины

распространенный по паре треугольников разбиения, имеющих отрезок своей общей стороной. Далее, интеграл по любому одному из этих треугольников полностью определяется длинами его сторон, но не зависит от поворотов и сдвигов этого треугольника. В самом деле, постоянная внутри треугольника величина (4) подынтегрального выражения представляет собой произведение длин векторов на косинус угла между этими векторами и выражается формулой

Здесь длины высот, выходящих из вершин соответственно, а векторы, направленные вдоль соответствующих высот в сторону вершин, как и векторы Интеграл по треугольнику получается умножением величины (5) на площадь треугольника.

Построение вариационно-разностной схемы (2) при сделанном выборе точек закончено. Однако очевидно, что не при всяком выборе этих точек, по которому однозначно определяется и система базисных функций можно ожидать, что полученное с помощью схемы (2) приближенное решение

будет «хорошим приближением» для точного решения задачи. В самом деле, если, например, все точки разместить в одной «половине» области, а в другой «половине» не поместить ни одной точки сетки, то приближение должно оказаться хорошим. Целесообразный выбор точек сетки должен быть осуществлен с учетом соотношений § 38, которые мы сейчас воспроизведем:

Здесь — -мерное линейное пространство всевозможных линейных комбинаций базисных функций, множество функций, которому принадлежит точное решение.

Именно, из соотношений (6) видно, что целесообразный выбор точек должен быть осуществлен с учетом класса U таким образом, чтобы число оказалось «возможно меньшим» и чтобы последовательность при «возможно быстрее» стремилась к нулю.

Всегда где колмогоровский поперечник множества U относительно нормированного пространства W (см. п. 3 § 38). Поэтому достаточным условием «хорошего» выбора точек является «близость» числа

Однако, вообще говоря, не для всякого множества функций U существует выбор сетки, при котором «не сильно» превосходит так, чтобы при величины имели одинаковый порядок малости относительно . Дело в том, в частности, что кусочнолинейные базисные функции, которыми мы пользуемся в этом пункте для восполнения сеточных функций, при любом выборе точек порождают пространства кусочно-линейных функций, которые не исчерпывают всех возможных -мерных подпространств пространства W и среди которых может и не оказаться подпространств реализующих хорошую аппроксимацию множества

Разберем подробно случай, когда имеющаяся об искомом решении и предварительная информация позволяет заключить лишь, что это решение и принадлежит классу всех функций U, вторые производные которых не превосходят некоторого числа М и которые обращаются в нуль на границе.

В этом случае мы укажем, как надо расположить точки чтобы с ростом N величина имела порядок О При этом благодаря (6) для погрешности приближенного решения гарантируются оценки

где с — некоторая постоянная.

Заметим, что эти оценки из-за равенств (32) и (33), § 38 для поперечников

неулучшаемы в следующем смысле. Если искать приближенное решение в виде линейной комбинации каких-либо фиксированных функций

то ни при каком выборе функций и ни при каком способе вычисления коэффициентов с по правой части нельзя получить оценки вида справедливые ПРИ любой для которой решение и принадлежит нашему классу

Теорема 1. Пусть U — множество всех функций, вторые производные которых непрерывны и не превосходят по модулю некоторого числа М, и которые обращаются в нуль на границе Г. Пусть для каждого N из некоторой возрастающей последовательности натуральных чисел осуществлен выбор точек разбиение многоугольника на треугольники, порождающее сетку как описано выше. Пусть при этом выполнены следующие три условия:

1°. Длина l любой стороны треугольников разбиения удовлетворяет неравенству

где

а некоторое положительное число, не зависящее от

Площадь области удовлетворяет оценке

3°. Каждый угол а любого из треугольников разбиения области удовлетворяет оценке

При сформулированных условиях для величины

имеет место оценка

где - некоторая постоянная.

Доказательство. Достаточно установить, что для каждой функции следующая функция

удовлетворяет оценке

так как, очевидно, в таком случае выполнена и оценка (12).

Интеграл (14) можно разбить на сумму (неотрицательных) интегралов по многоугольнику вписанному в область D, и по его дополнению до всей области

Оценим каждое из двух слагаемых в правой части (15) и установим оценки

где — некоторые постоянные, не зависящие от и от А. Очевидно, что из (16) и (17) в силу (15) вытекает (14) с постоянной

Для доказательства оценки (16) достаточно показать, что внутри каждого из треугольников, образующих разбиение области выполнены неравенства

где В — некоторая постоянная, не зависящая ни от , ни от А. Тогда, очевидно, оценка (16) имеет место, если за принять число (площадь D). Итак, для завершения доказательства оценки (16) надо установить оценки (18), к чему мы и переходим. Доказательство оценок (18) мы разобьем на два этапа. Сначала покажем, что производная

функции по любому направлению l может изменяться внутри треугольника не более чем на величину где так что для любых двух точек принадлежащих треугольнику, можно написать

Выберем затем какие-либо две стороны этого треугольника, образующие острыи угол а, и покажем, что всюду в треугольнике производные вдоль направлении и h этих сторон удовлетворяют оценкам

Далее воспользуемся формулами

где и — углы, образованные направлениями и h с осью Рассматривая формулы (21) как систему уравнении относительно и найдем

Но благодаря условию (10) угол так что

Из равенств (22) и неравенств (20) следуют оценки

которые примут вид (18), если обозначить

Для завершения доказательства оценок (18), а вместе с тем и (16) осталось доказать оценки на которые мы опирались. Докажем (19). Обозначим через s направление от точки к точке На отрезке, соединяющем эти точки, любая функция может рассматриваться как функция от s, где s — расстояние от точки . По теореме о конечных приращениях

где - некоторая точка на отрезке, соединяющем точки . Если

то

Обозначим углы между направлениями l и s с осью соответственно через . Тогда имеют место символические равенства

Очевидно, что

Поэтому

Поскольку , то из (23) получим неравенство

совпадающее с (19), если принять Для доказательства первого неравенства (20) заметим, что на стороне треугольника, имеющей направление h, есть точка, В самом деле, на концах этой стороны обращается в нуль по построению, а значит, по теореме Ролля в промежуточной точке производная обращается в нуль. Обозначим координаты этой точки и воспользуемся неравенством (19), в котором примем направление l совпадающим с направлением Получим первое неравенство Второе доказывается аналогично. Завершив доказательство неравенств (19) и (20), мы завершили тем самым и доказательство неравенства (16).

Для завершения доказательства всей теоремы осталось установить неравенство (17).

Заметим прежде всего, что каждая функция удовлетворяет условиям

где М — максимум модулей вторых производных функции в области диагональ какого-либо квадрата, содержащего D. Пусть прямая пересекает область D. Поскольку в концах отрезка пересечения этой прямой с Г по условию обращается в нуль, то в некоторой внутренней точке этого отрезка по теореме Ролля будет . В любой другой точке этого отрезка

Второе неравенство (24) доказывается аналогично. Из конструкции базисных функций следует, что функция в области по которой ведется интегрирование в левой части (17), есть тождественный нуль. Таким образом, благодаря оценкам (24) подынтегральная функция в левой части неравенства (17) не превосходит числа а сам интеграл не превосходит числа

Таким образом, неравенство (17) справедливо, если принять . Теорема доказана.