4. Проекционный метод Галеркина.
Б. Г. Галеркин в 1916 г. предложил численный метод решения краевых задач, не требующий знания их вариационной постановки. Изложим этот метод на примере краевой задачи (А), причем, как в п. 3, будем считать, что
Вновь выберем систему базисных функций (22), но будем считать (временно!), что функции 
имеют непрерывные вторые производные. Вновь будем искать приближенное решение в виде линейной комбинации
Подставим выражение (37) в левые части уравнения и краевого условия (36). Получим
где 
— возникающая невязка.
Введем в пространстве наряду со скалярным умножением (
), введенным выше, еще скалярное умножение
Если бы 
оказалась ортогональной ко всем функциям из W в смысле этого скалярного умножения, то 
бы тождественным нулем, 
было бы точным решением. Однако параметров 
слишком мало, чтобы, распорядившись ими, можно было получить точное решение. Поэтому подберем их из условия, чтобы проекции невязки на все 
были равны нулю, т. е. чтобы невязка была ортогональна ко всем базисным функциям (22)
В развернутом виде система уравнений (38) относительно чисел 
запишется так:
Интегрируя по частям, видим, что благодаря условию 
имеет место равенство
Поэтому система (39) перепишется в Виде
и при сделанном выборе скалярного умножения 
в точности совпадает с системой (29) метода Ритца.
От дополнительного предположения о наличии вторых про изводных у базисных функций можно отказаться, поскольку уравнения метода Галеркина (40) сохраняют смысл и без этого дополнительного требования.
