ЧАСТЬ ПЯТАЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ эволюционных РАЗНОСТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КАК ОГРАНИЧЕННОСТЬ НОРМ СТЕПЕНЕЙ НЕКОТОРОГО ОПЕРАТОРА

В предыдущих частях книги много внимания было уделено исследованию устойчивости разностных краевых задач Была исследована, в частности, устойчивость некоторых разностных схем, аппроксимирующих задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Это — стационарная задача: ее решение не зависит от времени. Однако основное внимание мы уделили эволюционным задачам, которые отвечают процессам, протекающим во времени, например таким, как распространение тепла или распространение волн. Приемы исследования эволюционных разностных краевых задач лучше развиты. Отчасти это объясняется возможностью рассматривать в ряде случаев стационарные состояния как результат стабилизации процессов, протекающих во времени.

При исследовании устойчивости эволюционных разностных задач мы пользовались принципом максимума, энергетическими неравенствами, спектральными признаками и другими приемами. Во всех этих приемах неявно используется специальная структура эволюционных разностных схем, в силу которой решение задается на одном или нескольких начальных временных слоях сетки, а затем шаг за шагом вычисляется на последующих временных слоях. Здесь мы отразим слоистый характер эволюционных разностных схем в самой их записи, поставив в соответствие разностной схеме некоторый линейный оператор с помощью которого осуществляется переход от уже известных «а данном временном слое значений решения к еще неизвестным значениям этого решения на следующем временном слое. Выбор этого оператора можно осуществить по-разному. Мы будем выбирать его так, чтобы устойчивость разностной схемы оказалась равносильна ограниченности норм его степеней. Это позволит с единой точки зрения взглянуть на уже встречавшиеся приемы исследования устойчивости эволюционных разностных краевых задач, как на способы исследования свойств степеней оператора а также сформулировать понятие спектра семейства разностных операторов и спектральный признак устойчивости несамосопряженных разностных краевых задач.