5. Близость необходимого признака устойчивости к достаточному.

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть оператор определен на конечномерном при каждом h нормированном пространстве и равномерно по h ограничен некоторой постоянной с:

Пусть, далее, спектр семейства операторов целиком лежит в замкнутом единичном круге

Тогда при любом нормы степеней операторов удовлетворяют оценке

где зависит только от , но не от

Факт, устанавливаемый этой теоремой, означает, что расположение спектра семейства операторов в единичном круге:

не только необходимо для устойчивости, но и гарантирует от «грубой» неустойчивости. При выполнении условий теоремы величина

при остается ограниченной либо растет медленнее степени с любым основанием , превосходящим единицу.

Доказательство. Предварительно покажем, что если спектр семейства операторов лежит в круге , то для любого , удовлетворяющего неравенству существуют числа такие, что при любом и любом и выполнено неравенство

Допустим противное. Тогда найдутся последовательности чисел комплексных чисел ; векторов такие, что

При достаточно больших значениях k, при которых числа в силу (12) не могут лежать вне круга так как вне этого круга

Таким образом, последовательность А ограничена, а следовательно, имеет предельную точку . Легко видеть, что в силу (15) точка А принадлежит спектру семейства операторов вопреки предположению, что спектр лежит в круге

Пусть теперь R — линейный оператор, переводящий некоторое конечномерное нормированное пространство U в себя. Пусть для любого комплексного и любого и при некотором справедливо неравенство

Тогда

Неравенство (17) вытекает из следующего известного равенства:

и условия (16), в силу которого Для доказательства неравенства (13) положим . Тогда (17) совпадает с (13).

В заключение наметим доказательство равенства (18). Положим

Умножим обе части равенства на и просуммируем по от до . Получим

или

Из определения видно, что является вычетом вектор-функции

Но так что последнее равенство равносильно операторному равенству (18).

В этом параграфе мы сформулировали спектральную постановку задачи об устойчивости эволюционных разностных схем, имеющую смысл для любых эволюционных разностных схем, приводимых к виду

так, чтобы выполнение условия

было равносильно устойчивости. Это могут быть двуслойные, многослойные схемы, схема расщепления и так далее для задач на отрезке, в многомерных или составных областях.

Эта спектральная постановка задачи требует выяснить, лежит ли спектр семейства операторов в единичном круге