3. Метод Ньютона.
Метод стрельбы при решении хорошо поставленой краевой задачи может оказаться, как мы видели, неприменимым из-за вычислительной неустойчивости. Но метод прогонки, даже формально, можно применять только для решения линейных задач.
Метод Ньютона уводит решение нелинейной задачи к серии линейных задач и состоит в следующем. Пусть известна некоторая функция 
удовлетворяющая граничным условиям (1) и грубо приближенно равная искомому решению 
Положим
где 
поправка к нулевому приближению 
Подставим (5) в уравнение (1) и линеаризуем задачу, используя, равенства
Отбрасывая остаточный член 
получим линейную задачу для поправки 
где
Решая линейную задачу (6) аналитически или каким-либо численным методом, найдем приближенно поправку v и примем
за следующее приближение.
Описанная процедура может применяться к нелинейной разностной краевой задаче, возникшей при аппроксимации задачи (1).
