ГЛАВА 11. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

§ 34. Простейшая разностная схема для задачи Дирихле

Здесь мы проверим, что простейшая разностная схема (13) § 24 аппроксимирует задачу Дирихле (12) § 24 со вторым относительно h порядком и устойчива, а следовательно, применима для приближенного вычисления решения задачи Дирихле.

Задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной области с границей Г запишем в виде

где s — длина дуги, отсчитываемая вдоль границы Г, функции заданы.

Совокупность точек сетки — целое, попавших внутрь квадрата или на его границу, обозначим через Точки лежащие строго внутри квадрата D, будем считать внутренними точками сеточного квадрата совокупность внутренних точек обозначим . Точки лежащие на границе Г квадрата D, будем считать граничными точками сеточной области совокупность граничных точек обозначим IV Разностную схему (13) § 24

запишем в виде

где - значение функции в точке принадлежащей .

1. Аппроксимация.

Правая часть разностной схемы (2) имеет вид

В предположении, что решение задачи (1) имеет ограниченные четвертые производные, с помощью формулы Тейлора устанавливается равенство

Поэтому для решения задачи (1) имеем

Таким образом, невязка возникающая при подстановке в левую часть разностной схемы (2), имеет вид

В пространстве состоящем из элементов вида

введем норму

Тогда

Таким образом, разностная краевая задача (3) аппроксимирует задачу Дирихле (1) со вторым порядком относительно

2. Устойчивость.

Определим норму в пространстве функций, заданных на сетке положив

Для доказательства устойчивости разностной схемы (3), к которому мы переходим, в соответствии с определением устойчивости надо установить, что задача (2) однозначно разрешима при произвольной правой части (это свойство не зависит от выбора норм) и что выполнена оценка вида

где с не зависит ни от h, ни от

Лемма 1. Пусть функция определена на сетке и во внутренних точках удовлетворяет условию

Тогда наибольшее на сетке значение достигается хотя бы в одной точке

Доказательство. Допустим противное. Выберем среди точек сетки в которых достигает своего наибольшего значения, какую-нибудь одну точку имеющую самую большую абсциссу. По нашему предположению внутренняя точка, причем строго больше, чем . В точке будет

поскольку первая скобка в числителе отрицательна, а остальные неположительны. Противоречие с (11).

Лемма 2. Пусть функция определена на сетке и во внутренних точках удовлетворяет условию

Тогда наименьшее на сетке значение достигается хотя бы в одной точке границы.

Лемма 2 доказывается аналогично лемме 1.

Теорема (принцип максимума). Каждое решение разностного уравнения

достигает своего наибольшего и наименьшего значения в некоторых точках .

Доказательство получается объединением утверждений лемм 1 и 2.

Свойство решений разностного уравнения (13) аналогично свойству решений уравнения Лапласа принимать наибольшее и наименьшее значения на границе области, где эти решения определены.

Из принципа максимума следует, что задача

имеет только нулевое решение , поскольку наибольшее и наименьшее значения этого решения принимаются в точках Гл, где . Следовательно, определитель системы линейных уравнений (3) отличен от нуля и разностная краевая задача (2) однозначно разрешима при произвольной правой части Переходим к доказательству оценки (10).

В силу формулы (5) для произвольного многочлена P(х, у) второй (и даже третьей) степени

выполнено равенство

так как четвертые производные от входящие в выражение остаточного члена формулы (5), обращаются в нуль.

Используя функции из правой части системы (3) и фиксировав построим вспомогательную функцию

которую будем рассматривать только в точках сетки Это отражено значком h в обозначении . В силу (15) всюду в точках

Поэтому разность решения задачи (3) и функции удовлетворяет в точках равенствам

В силу леммы 1 разность принимает свое наибольшее значение на границе . Но на границе эта разность

неположительна, так как в квадрате D всюду и обе квадратные скобки в правой части неположительны. Поскольку наибольшее значение неположительно, то всюду на

Аналогично, для функции в точках

а в точках Г сумма неотрицательна. В силу леммы 2 всюду на

Таким образом, всюду на

Отсюда вытекает неравенство (10):

где

завершающее доказательство устойчивости.

В случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами

где — положительные в прямоугольнике D гладкие функции, разностную схему можно построить аналогично. Используя во внутренних точках сетки замену выражении разностньми отношениями по приближенным формулам

получим разностную схему (2) вида

Пользуясь формулой Тейлора, можно убедиться в том, что имеется второй порядок аппроксимации. Можно было бы доказать устойчивость построенной схемы, преодолевая некоторые дополнительные трудности, по сравнению с рассмотренными нами при разборе примера.

На практике, при решении конкретных задач, обычно ограничиваются обоснованиями принципиального характера на модельных задачах, типа проведенного выше. Конкретные суждения о погрешности получаются, как правило, не из теоретических оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов, выполненных на сетках с различными значениями шага

После того, как разностная краевая задача, аппроксимирующая дифференциальную, построена, нужно еще указать не слишком трудоемкий способ ее решения. Ведь при малом h задача (2) есть система скалярных уравнений очень высокого порядка. В разобранном нами примере решение разностных уравнений — сложная и интересная задача, но мы отложим ее рассмотрение до §§ 35, 36.

ЗАДАЧИ

1. Доказать, что если во внутренних точках области функция удовлетворяет уравнению

то либо принимает всюду на одинаковые значения, либо наибольшее и наименьшее значения функции не достигаются ни в одной внутренней 1 точке сетки (усиленный принцип максимума).

2. Если во всех внутренних точках области выполнено условие причем хотя бы в одной точке неравенство строгое, то не достигает своего наибольшего значения ни в одной внутренней точке.

3. Рассмотрим разностную схему вида

Рис. 43.

Эта разностная схема аппроксимирует задачу (рис. 43)

а) Доказать, что при любых задача имеет единственное решение.

б) Доказать, что если неотрицательно, неположительны, то неположительно.

в) Доказать, что при любых имеет место оценка вида

где с — некоторая постоянная, не зависящая от . Вычислить с.