2. Определение аппроксимации.

Напомним определение аппроксимации. Чтобы это понятие имело смысл, надо ввести норму в пространстве которому принадлежит правая часть уравнения (2). По определению, разностная задача (2) аппроксимирует задачу (1) на решении и, если в равенстве

невязка возникающая при подстановке в разностную краевую задачу (2), стремится к нулю при :

Если

где С не зависит от h, то аппроксимация имеет порядок k относительно Н.

Построим, например, для задачи Коши

одну из аппроксимирующих ее разностных схем. Задача (4) записывается в форме (1), если положить

В качестве сетки (рис. 8) используем совокупность точек пересечения прямых,

где — некоторые числа, а - целая часть дроби . Будем считать, что шаг связан с шагом h зависимостью где так что сетка зависит только от одного параметра h.

Рис. 8.

Искомой сеточной функцией является таблица значений решения задачи (4) в точках сетки . Перейдем к построению аппроксимирующей задачу (4) разностной схемы (2). Значения сеточной функции в точке сетки будем обозначать . Схему (2) получим, приблизив производные разностными отношениями

Эта схема имеет вид

Оператор и правая часть для схемы (5) задаются соответственно равенствами

Таким образом, это пара сеточных функций одна из которых задана на двумерной сетке

(см. рис. 8), а другая — на одномерной

Разностное уравнение (4) можно разрешить относительно получив

Итак, зная значения решения в точках сетки при можно вычислить значения в точках сетки при Поскольку значения при заданы равенствами мы можем шаг за шагом вычислить значения решения в точках сетки на прямых и т. д., т. е. всюду на .

Перейдем к выяснению порядка аппроксимации, которым обладает схема (5). За можно принять линейное пространство всех пар ограниченных функций положив

Как уже отмечалось в § 13, норма, в которой рассматривается аппроксимация, может быть выбрана многими способами и выбор этот небезразличен. Пока нам будет достаточно в качестве

нормы брать верхнюю грань модулей всех компонент, образующих элемент пространства . Будем иметь в виду всюду в этом параграфе именно такую норму.

Предположим, что решение задачи (4) имеет ограниченные вторые производные. Тогда по формуле Тейлора

где — некоторые числа, зависящие от и удовлетворяющие неравенствам

С помощью формул (7) выражение

можно переписать в виде

или

где

Следовательно,

Таким образом, рассматриваемая разностная схема (5) имеет первый порядок аппроксимации относительно h на решении обладающем ограниченными вторыми производными.