2. Признак Бабенко и Гельфанда.

При рассмотрении задачи (1) мы полагали, что возмущения, сообщенные решению задачи (1) в окрестности произвольной внутренней точки , при мелкой сетке развиваются примерно так же, как такие же возмущения, сообщенные решению задачи Коши (2) с замороженными в точке коэффициентами. В обоснование этого принципа мы принимали во внимание, что расстояния от внутренней точки до границ, измеренные числом шагов сетки, измельчении сетки неограниченно возрастают. Но если точка лежит на боковой границе или то это эвристическое рассуждение теряет убедительность. Пусть, например, Тогда расстояние от точки до любой фиксированной точки (в частности, до правого конца отрезка х=1),

измеренное числом шагов сетки, при по-прежнему неограниченно возрастает, но число шагов до левого конца не меняется и остается равным нулю.

Поэтому возмущение решения задачи (1) вблизи левой границы за малое время должно развиваться подобно возмущению решения задачи

Эта задача получилась из исходной задачи (1) при замораживании коэффициента в левом конце отрезка и одновременном удалении правой границы в Задачу (4) естественно рассматривать только на тех функциях которых

Только в этом случае возмущение сосредоточено вблизи границы и только относительно возмущений такого вида задача (1) и задача (4) вблизи левой границы сходны между собой.

Точно так же развитие возмущений решения задачи (1) вблизи правой границы должно быть похоже на развитие таких же возмущений для задачи

с одной только правой границей. Эта задача возникла из исходной задачи (1) при замораживании коэффициента и правом конце и при удалении левой границы в За дачу (5) надо рассматривать на сеточных функциях удовлетворяющих условию

Задачи (2), (4) и (5) проще исходной задачи (1) в том от ношении, что при фиксированном они не зависят от h и являются задачами с постоянными коэффициентами.

Таким образом, процедура исследования устойчивости, учитывающая влияние границ, применительно к задаче (1) состоит в следующем. Надо составить три вспомогательные задачи (2), (4) и (5). Для каждой из этих трех задач, не зависящих от h, надо найти все те числа (собственные числа

оператора перехода от , при которых существуют решения вида

При этом в случае задачи должно быть ограничено. В случае задачи при , а в случае задачи (5)

Для устойчивости задачи (1) совокупность собственных чисел каждой из трех задач (2), (4) и (5) должна лежать в единичном круге . (Задача (2) рассматривается при каждом фиксированном )

Продолжим рассмотрение задачи (1). Будем считать в дальнейшем, что и вычислим спектры для всех, трех задач (2), (4) и (5) при различных краевых условиях

Подставляя решение Хрит в разностное уравнение (2), получаем

или

Это — уравнение второго порядка. Подобными уравнениями мы занимались в гл. 1. Чтобы написать общее решение уравнения (6), составим характеристическое уравнение

Если q — корень этого уравнения, то сеточная функция

есть одно из решений уравнения

Если ограниченная при и при сеточная функция

как мы видели в § 25, является решением при

Эти заполняют отрезок на вещественной оси. Этот отрезок и есть спектр задачи (2). Собственных значений , не лежащих на этом отрезке, задача (2) не имеет, так как в случае отсутствия у характеристического уравнения (7) корня q, по модулю равного единице, задача (6) не имеет ограниченного при решения.

Если X не лежит на отрезке , то оба корня характеристического уравнения (7) отличны по модулю от единицы, но их произведение равно свободному члену квадратного уравнения (7), т. е. единице. Поэтому среди корней уравнения (7) один по модулю больше, а другой меньше единицы. Пусть для определенности Тогда общее решение уравнения (6), убывающее по модулю при имеет вид

а общее решение уравнения (6), стремящееся к нулю при , имеет вид

Для определения собственных значений задачи (4) надо подставить в левое граничное условие и найти все те , при которых оно выполняется. Это и будут все собственные значения задачи (4). Если, например,

то условие выполняется ни при каком с , так что собственных значений нет.

Если то условие ввиду приводит к так что собственных значений опять нет.

Если то условие выполняется при , если

Из уравнения (7) находим, что в случае число - есть

Это и есть единственное собственное значение задачи (4). Оно лежит вне единичного круга, так как, Аналогично вычисляются собственные значения задачи (5). Они получаются из уравнения

при

Рассмотрим в качестве еще одного примера разностную схему

аппроксимирующую задачу

Применим для исследования ее устойчивости признак Бабенко — Гельфанда. Сопоставим схеме (8) три задачи: задачу без боковых границ

задачу с одной только левой боковой границей

и задачу с одной только правой боковой границей

В случае задачи (10) с одной только левой боковой границей граничного условия нет, так как его не было в исходной задаче (8).

Надо найти совокупность собственных чисел всех трех операторов перехода от соответствующих каждой из трех вспомогательных задач (9), (10), (11), и выяснить, при каких, условиях все они лежат в круге

Решение вида

при подстановке в разностное уравнение

приводит к следующему обыкновенному разностному уравнению первого порядка для собственной функции:

Соответствующее характеристическое уравнение

дает связь между и q. Общее решение уравнения (12) есть

При

Точка пробегает окружность с центром в точке и радиусом . Это и есть собственные значения задачи (9) (рис. 26, а).

Рис. 26.

Убывающее при нетривиальное решение

задачи (10) существует при любом

Соответствующие заполняют, очевидно, всю внутренность круга, ограниченного окружностью .

Наконец, решения задачи крит, убывающие при должны иметь вид

где и q связаны равенством (13).

Из граничного условия следует, что нетривиальное решение существует только при , т. е.

при . Эта величина q по модулю больше единицы в случае выполнения одного из неравенств или Первое неравенство решений не имеет. Решение второго:

Итак, при задача (10) имеет собственное значение (рис. 26, б). На рис. 27, а,б,в изображены объединения собственных значений всех трех задач соответственно для случаев .

Рис. 27.

Ясно, что объединение собственных значений всех трех задач лежит в круге , где с не зависит от h, в том и только том случае, если .

Изложенный здесь признак устойчивости нестационарных разностных задач на отрезке, учитывающий влияние граничных условий, применим и в случае краевых задач на отрезке для систем разностных уравнений. В этом случае естественные на первый взгляд схемы, удовлетворяющие признаку Неймана, часто оказываются неустойчивыми из-за неудачной аппроксимации граничных условий, и важно уметь подбирать схемы, свободные от этого недостатка.

В гл. 14 мы еще вернемся к обсуждению спектрального признака Бабенко — Гельфанда с некоторой более общей точки зрения. В частности, будет строго доказано, что его выполнение необходимо для устойчивости и что при его выполнении устойчивость не может «грубо» нарушаться.