ГЛАВА 9. ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИИ

§ 29. Обобщенное решение

Во всех рассмотренных до сих пор примерах мы предполагали, что существуют достаточно гладкие решения дифференциальных краевых задач, а в основу построения разностных схем клали приближенную замену производных в дифференциальном уравнении разностными отношениями. Однако дифференцируемых функций недостаточно для описания многих важных процессов физики. Так, например, физические эксперименты показывают, что распределения давления, плотности и температуры в сверхзвуковом течении невязкого газа описываются функциями, имеющими скачки — ударные волны. Скачки могут возникать с течением времени при гладких начальных данных.

Соответствующие дифференциальные краевые задачи не имеют гладких решений. Приходится расширить понятие решения и некоторым естественным способом ввести обобщенные решения, которые могут быть и разрывными. Для этого существуют два основных способа.

Первый способ состоит в том, чтобы записывать физические законы сохранения (массы, импульса, энергии и т. д.) не в дифференциальной, а в интегральной форме. Тогда они имеют смысл и для разрывных функций, которые нельзя дифференцировать, но интегрировать можно.

Второй способ состоит в искусственном введении в дифференциальные уравнения таких членов, при которых эти уравнения имеют гладкие решения. Эти искусственно введенные члены в случае газодинамических задач имеют смысл малой вязкости, выглаживающей разрывы течения. Затем коэффициенты при «вязких» членах устремляют к нулю, а предел, к которому стремится решение, принимают за обобщенное решение исходной задачи.

Мы поясним определение обобщенного решения и способов его расчета на примере следующей задачи Коши:

которая является простейшей моделью задач газовой динамики среди обладающих свойством возникновения разрывных решений из гладких начальных данных.

1. Механизм возникновения разрывов.

Предположим сначала, что задача (1) имеет гладкое решение Введем линии определяемые уравнением

Эти линии называются характеристиками уравнения

Рис. 28.

Рис. 29.

Вдоль каждой характеристики решение можно считать функцией, зависящей только от

Тогда

Поэтому вдоль характеристики решение постоянно, Но в силу уравнения (2) из следует, что характеристика есть прямая линия . Здесь абсцисса точки из которой выходит характеристика, а — угловой коэффициент ее наклона к оси Заданием начальной функции и таким образом, наглядно определяется и картина характеристик, и значения решения в каждой точке полуплоскости (рис. 28).

Заметим сразу же, что в предположении существования гладкого решения характеристики не могут пересекаться, так как каждая характеристика приносила бы в точку пересечения свое значение решения и решение не было бы однозначной функцией. При монотонно возрастающей функции с ростом угол а увеличивается, характеристики не пересекаются (рис. 29). Но в случае убывания функции характеристики сходятся и пересечения неизбежны—независимо от гладкости функции Гладкое решение задачи (I) перестает существовать с момента когда хотя бы две характеристики пересекутся (рис. 30).

Графики функции и изображены на рис. 31,

Рис. 30.

Рис. 31