4. Обобщение на системы уравнений.

Все описанные схемы численного решения Задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (1) автоматически переносятся на системы уравнений первого порядка. Для этого в записи (1)

надо понимать под вектор-функции и под заданный вектор. Тогда схемы Рунге — Кутта (3), (4) и схемы Адамса (7) — (10) сохранят смысл и останутся применимыми.

Например, система уравнений

запишется в форме

если положить

Формула для в схеме Эйлера

подробно запишется так:

Все рассуждения о порядке аппроксимации, изложенные мелким шрифтом (стр. 159), тоже сохраняются. При этом в формуле (6) под производной вектора по вектору надо понимать матрицу

Произвольная, систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, сводится к системе уравнений первого порядка

путем замены искомых функций. Как это делается, ясно из следующего примера. Система

приводится к требуемому виду, если положить

Получим

Замечание. Разработаны разностные схемы типа схем Рунге — Кутта, применимые непосредственно для уравнения второго порядка и не требующие предварительного сведения этих уравнений к системам первого порядка.