§ 28. Принцип максимума

Мы уже видели в §§ 21 и 24 на примерах, как доказывается устойчивость с помощью принципа максимума. Здесь мы разберем еще два интересных примера, в которых этим приемом

удается доказать устойчивость: явную и неявную разностные схемы, аппроксимирующие краевую задачу для уравнения теплопроводности:

1. Явная разностная схема.

Рассмотрим явную разностную схему

Здесь — целое число.

Спектральный признак Неймана в соединении с принципом замороженных коэффициентов приводит, как мы видели в § 26, к необходимому условию устойчивости

Докажем, что при этом условии устойчивость действительно имеет место, если определить нормы равенствами

Установим справедливость неравенства (принцип максимума)

Действительно, перепишем разностное уравнение, лежащее в основе схемы (2), придав ему вид

При выполнении условия (3) выражение неотрицательно. Поэтому можно написать

Учитывая, что

отсюда выводим принцип максимума (5).

Разобьем решение задачи на два слагаемых: определив и соответственно как решения задач

В силу оценки (5)

В силу той же оценки (5)

Из оценок, установленных для следует

где

Неравенство справедливо при всех . Поэтому

И устойчивость имеет место.