§ 28. Принцип максимума
Мы уже видели в §§ 21 и 24 на примерах, как доказывается устойчивость с помощью принципа максимума. Здесь мы разберем еще два интересных примера, в которых этим приемом
удается доказать устойчивость: явную и неявную разностные схемы, аппроксимирующие краевую задачу для уравнения теплопроводности:
1. Явная разностная схема.
Рассмотрим явную разностную схему
Здесь 
— целое число.
Спектральный признак Неймана в соединении с принципом замороженных коэффициентов приводит, как мы видели в § 26, к необходимому условию устойчивости
Докажем, что при этом условии устойчивость действительно имеет место, если определить нормы равенствами
Установим справедливость неравенства (принцип максимума)
Действительно, перепишем разностное уравнение, лежащее в основе схемы (2), придав ему вид
При выполнении условия (3) выражение 
неотрицательно. Поэтому можно написать
Учитывая, что
отсюда выводим принцип максимума (5).
Разобьем решение 
задачи 
на два слагаемых: 
определив и соответственно как решения задач
В силу оценки (5)
В силу той же оценки (5)
Из оценок, установленных для 
следует
где
Неравенство справедливо при всех 
. Поэтому
И устойчивость имеет место.
