ДОПОЛНЕНИЕ. МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

В теории краевых задач для аналитических функций, т. е. для решений системы уравнений Коши — Римана, а также для решений более общих систем уравнений с частными производными, применяется метод сингулярных интегральных уравнений. Он состоит в сведении краевых задач к некоторым интегральным уравнениям на границе рассматриваемой области. При этом в дополнение к заданным граничным условиям используются следствия самой системы дифференциальных уравнений — соотношения, которым Должны удовлетворять функции (и их нормальные производные) на границе области, чтобы их можно было доопределить внутри области до некоторого решения соответствующей системы. В случае аналитических функций — это классическое условие Сохоцкого — Племеля, которое возникает при переходе в интегральной формуле Коши

к пределу при стремлении к границе у. В случае дифференциальных уравнений второго порядка соответствующее условие возникает из формулы Грина, выражающей решение в каждой точке области через значения этого решения и его нормальной производной на границе. Чтобы получить это условие, также надо перейти к пределу при стремлении точки изнутри области к ее границе, воспользовавшись свойствами потенциалов простого и двойного слоев.

Метод внутренних граничных условий по идее аналогичен описанному методу редукции краевых задач для уравнений с частными производными к интегральным уравнениям на границе. Роль дополнительных граничных условий, аналогичных условию Сохоцкого — Племеля, играют внутренние граничные условия, возникающие из разностного аналога интегральной формулы Коши (или разностного аналога формулы Грина).

1. Класс систем разностных уравнений. Рассматриваются краевые задачи для общих систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которые в векторной записи имеют вид

где квадратные матрицы, - заданная и - искомая вектор-функции, К — конечное множество (шаблон). Будем Предполагать, что система (1) удовлетворяет следующему алгебраическому условию: характеристическая матрица

где - комплексные параметры, не является тождественно по вырожденной:

Это ограничение естественно: можно показать, что в случае уравнение (1) имеет решение не при всякой финитной (по ) правой части

2. Фундаментальное решение.

Матричную функцию назовем фундаментальным решением системы (1), если она однорременно удовлетворяет следующим двум уравнениям:

Лемма. Пусть есть произвольный многочлен от произвольного числа t комплексных аргументов, не обращающийся тождественно в нуль. Тогда можно выбрать радиусы окружностей так, чтобы выполнялось неравенство если

Доказательство проведем индукцией по числу аргументов t. При число корней конечно и утверждение очевидно. Считая, что утверждение доказано для , установим его в случае . Многочлен расположим по степеням

где M — некоторое натуральное число и не обращается тождественно в нуль. Выберем так, чтобы при Это возможно по предположению индукции. Выбирая теперь достаточно большим, можно добиться, чтобы при выполнялось неравенство ,

Теорема 1. Матрица определяемая равенством

является фундаментальным решением.

Здесь в соответствии с леммой выбраны так, чтобы , если

Доказательство получается непосредственной проверкой. Учитывая свойства вычетов, получаем

3. Граница сеточной области.

Рассмотрим уравнение (1) на некотором ограниченном множестве

где — произвольная сеточная область определения правой части Тогда область определения решения есть множество D, которое пробегает точка

если n и к пробегают независимо и К соответственно. Сопоставим каждому подмножество множества К, состоящее из всех тех , для которых Границей Г назовем совокупность всех тех точек для которых непусто. Например, для простейшего разностного аналога уравнения Пуассона

множество состоит из тех точек которые попали внутрь квадрата

Рис. 57.

Множество К — из пяти векторов Множество D — совокупность всех целочисленных точек квадрата кроме четырех угловых Граница Г состоит из двух слоев точек, отмеченных на рис. 57 крестиками.

4. Разностные аналоги интегральных формул Коши и типа Коши.

Лемма. Пусть — произвольная матрица-функция, для которой имеет смысл умножение справа на квадратную матрицу порядка , определенная на всей целочисленной сетке. Справедливо следующее тождество:

Доказательство. Вектор-функцию можно записать в виде

Левая и правая части тождества (7) линейно зависят от и. Поэтому для доказательства достаточно проверить справедливость тождества (7) для вектор-функции

при каждом фиксированном

Теорема 2. Пусть , — произвольное решение уравнения произвольное фундаментальное решение. Тогда справедлива формула

Доказательство. Помножим обе части равенства (6) слева на матрицу и просуммируем по всем . Воспользовавшись тождеством (7), а затем равенством (4), получим формулу (8).

Следствие. Каждое решение уравнения (6) полностью определяется своими значениями на Г и восстанавливается по этим, значениям по формуле (8).

Теорема 3. Пусть произвольная вектор-функция размерности , определенная на Г, и пусть произвольное фундаментальное решение. Тогда формула

задает некоторое решение уравнения (6).

Доказательство. Применим оператор L к вектор-функции определенной формулой (9):

Вычислим правую часть. В силу (4) имеем

Но в силу определения множества точка не принадлежит так что первое слагаемое в правой части формулы (10) есть нулевой вектор. Второе слагаемое есть, очевидно, так что и теорема доказана.

Равенство (8) аналогично интегральной формуле Коши для аналитических функций в ограниченной области d с границей у:

При этом роль аналитических функций, границы области и ядра Коши - играют соответственно решения задачи (6), граница точной области D и выражение учитывающее через множество по которому ведется суммирование, структуру границы вблизи точки

Формулу (9) в таком случае естественно сравнить с интегральной формулой типа Коши. Формула (8) аналогична также формуле Грина для уравнения Лапласа.

Подчеркнем, однако, следующее существенное различие между формулами (11) и (8): интегральная формула Коши справедлива только строго внутри области d, а разностная формула (8)- всюду на D, включая точки границы Г.

Аналогичное различие имеется также между формулой (9) и формулой Грина.

5. Внутренние граничные условия.

Теорема 4. Пусть - какое-нибудь фундаментальное решение уравнения (1). Для того чтобы заданную на Г вектор-функцию можно было доопределить всюду в ограниченной сеточной области D до некоторого решения уравнения (6), необходимо и достаточно, Чтобы при всех выполнялись равенства

Доказательство. Если можно доопределить всюду на D до некоторого решения , то, применив к этому решению формулу (8), а затем рассматривая полученное равенство только при , убедимся в выполнении (12). Обратно, если удовлетворяет (12), то примем и построим некоторое решение по формуле (9). В силу (12) граничные значения этого решения совпадут с заданными.

Доказанная теорема 4 дает основание назвать равенства (12) внутренними граничными условиями: эти условия не задаются извне, а являются следствиями самого разностного уравнения.

Если формулы (8) и (9) трактовать как аналоги интегральных формул Коши и типа Коши, то внутренние граничные условия аналогичны классическим условиям Сохоцкого — Племеля, при которых заданную на границе у области d на комплексной плоскости функцию можно доопределить всюду в области d до некоторой аналитической функции.

Формулу (8) можно понимать как адекватную системе (6) разностную формулу Грина, которая неявно учитывает «скачки потенциалов» на границе Г и приводит к внутренним граничным условиям (12).

6. Оператор граничного проектирования.

Возможна отличная от (12) запись внутренних граничных условий. Будем обозначать через линейное пространство всех сеточных вектор-функций , а через подпространство тех из них, которые можно доопределить всюду в D до решений однородного уравнения, соответствующего уравнению (6).

Определим линейное отображение пространства UF в себя следующей формулой:

Теорема 5. Оператор Р есть оператор проектирования на

Доказательство. Действительно, при любом в силу теоремы 3 элемент принадлежит Если то в силу теоремы 2 получим Теорема доказана.

Оператор Р, определенный формулой (13), будем называть оператором граничного проектирования. С его помощью внутренние граничные условия (12) в случае записываются в форме

Подчеркнем, что оператор граничного проектирования зависит от выбора фундаментального решения

7. Общая краевая задача.

В силу следствия из теоремы 2 каждое решение уравнения (6) восстанавливается по его значениям на границе Г. Это

дает основание определить общую линейную краевую задачу для уравнения (6) как краевую задачу вида

где какой-нибудь линейный оператор, отображающий пространство на некоторое линейное пространство Ф.

Естественные разностные схемы, аппроксимирующие первую, вторую или третью краевые задачи для уравнения Пуассона, например, легко записать в виде (15).

Название «общая краевая задача» несколько условно: могут встретиться разностные краевые задачи, имеющие иной, чем (15), вид. Например, таковы естественные разностные схемы для дифференциальных краевых задач, в которых порядок дифференциального уравнения ниже порядка дифференциальных краевых условий.

8. Основная идея метода внутренних граничных условий.

Пусть для простоты Между разностной краевой задачей

и между задачей

существует тесная связь. Именно, граничные значения каждого решения , задачи (16) удовлетворяют в силу теоремы 2 уравнениям (17). Обратно, каждое решение задачи (17) в силу теоремы 4 и следствия из теоремы 2 можно единственным образом доопределить всюду в D до решения задачи (16). Основная идея метода внутренних граничных условий состоит в переходе от исходной разностной краевой задачи (16) к системе уравнений (17) на границе Г. Продвижения, которые при этом удается получить, основаны на двух обстоятельствах. Первое из них — малое по сравнению с задачей (16) число неизвестных, участвующих в задаче (17). Второе — специальный вид системы (17), в структуру которой органически включен оператор граничного проектирования.

9. Устойчивость внутренних граничных условий.

Можно опасаться, что внутренние граничные условия «почти вырождены», и поэтому задача (17) плохо обусловлена независимо от вида оператора так что переход от задачи (16) к задаче (17) связан с потерей вычислительной устойчивости.

Будем считать, что пространство Ф вложено в пространство UF, введем в пространстве значит, и в пространстве Ф с: ) норму IMI и докажем теорему, означающую, что при переходе от задачи (16) к задаче (17) не происходит потери вычислительной устойчивости.

Теорема 6. Пусть задача (17) имеет решение при любом причем выполнена оценка

где с от не зависит. Пусть, далее, произвольный элемент из Обозначим

Тогда справедлива оценка

Если рассматривать (19) как уравнения для определения , то оценка (20) означает, что чувствительность решения задачи (19) к возмущениям правой части внутренних граничных условий характеризуется постоянной с из оценки (18), т. е. чувствительностью решения к возмущениям правой части заданного граничного условия .

Доказательство. Обозначим

В силу теоремы 5 имеем . Поэтому

т. e. удовлетворяет системе вида силу (18) оценке

Отсюда с учетом тождества следует (20).

10. Дополнительная идея.

Изложим полезную при численном решении краевых задач для уравнений с частными производными идею применительно к следующей задаче.

Пусть функция определена в некоторой области d с достаточно гладкой границей у как решение задачи Дирихле

и требуется найти производную

в направлении внутренней нормали. Такая задача возникает, если по температуре на границе у требуется найти установившийся тепловой поток через границу.

Под s понимается длина дуги вдоль границы у. причем будем считать для определенности, что полная длина границы у есть . Функцию

будем искать приближено в виде частичной суммы

ее ряда Фурье. Для определения коэффициентов воспользуемся методом внутренних граничных условий.

Зададим построим сетку

и разностное уравнение

Отнесем к все те точки сетки, которые вместе со всеми четырьмя

соседними точками принадлежат Тогда определится сеточная область ее граница и внутренние граничные условия Идея состоит в том, чтобы по функции и фукнции

записанной в виде ряда с неопределенными коэффициентами, продолжить решение по формуле Тейлора с границы у в приграничную полоску, где лежит граница сеточной области затем подобрать неопределенные коэффициенты

из условия минимизации невязки, возникающей при подстановке продолженной с границы Y в приграничную полоску функции во внутренние граничные условия.

11. Сопоставление метода внутренних граничных условий с методом сингулярных интегральных уравнений.

В начале Дополнения мы указывали на аналогию между методом внутренних граничных условий и методом сингулярных интегральных уравнений, которая не является полной. Здесь мы сопоставим эти методы, уточняя аналогию и выявляя существенные различия.

Для сопоставления сначала опишем идею метода сингулярных интегральных уравнений для дифференциальных краевых задач на примере задачи

где — ограниченная область, ее граница. Краевое условие (22) связывает решение на границе области и его производную по направлению внутренней нормали Коэффициенты заданные операторы.

Выпишем классическую формулу Грина для уравнения (21):

где - фундаментальное решение уравнения (21), стремящееся к нулю на бесконечности. Устремим к границе у. Воспользовавшись свойствами потенциалов простого и двойного слоев, получим на границе Y соотношение вида

связывающее решение и его нормальную производную на границе области; и некоторые известные интегральные операторы. Переход от задачи (21), (22) к равносильной системе уравнений (22), (24) относительно функций определенных на границе и составляет сущность метода сингулярных интегральных уравнений.

Для сравнения рассмотрим теперь метод внутренних граничных условий применительно к следующей общей краевой задаче для разностного аналога уравнения (21) в квадратной сеточной области

Запишем внутренние граничные условия в удобной для дальнейшего форме.

Легко проверить, что формула (9) в этом случае может быть переписана в форме

где - совокупность точек Г, лежащих на сторонах квадрата т. е. на внешнем слое двухслойной границы Г сеточной квадратной области (рис. 57), а разностный аналог производной по направлению внутренней нормали.

Заметим, что формула (27) была бы полным аналогом классической формулы Грина (23), если бы в ее правой части отсутствовало «сингулярное слагаемое» Ьгпиг Однако в таком хлучае равенство (27) имело бы место не при всех , а лишь при Из него нельзя было бы получить тогда внутренние граничные условия Эти условия получаются из (27), если пробегает не всю область D, а только точки границы Г, и записываются двумя системами равенств

отвечающих, соответственно, точкам внешнего и точкам внутреннего слоев двойной границы Г. В качестве в равенствах (28) и (29) будем использовать ограниченное фундаментальное решение.

Можно показать, что внутренние граничные условия т. е. система уравнений (28), (29), алгебраически равносильна каждой из отдельно взятых подсистем (28) или (29).

Подсистема (28) аналогична интегральному соотношению (24), так что разностным аналогом задачи (22), (24) является задача (27), (28), но не задача

записываемая равенствами которая рассматривается в методе внутренних граничных условий.

Имеется очевидная разница между внутренними граничными условиями т. е. системой (28), (29), и одной только подсистемой (28). Внутренние граничные условия

содержат избыточные равенства (29). В этом смысле разностные внутренние граничные условия

больше похожи не на интегральное соотношение (24), а на условия Сохоцкого — Племеля для аналитических функций. Эти последние представляют собой два вещественных соотношения, связывающих две вещественных функции, но они не независимы, и многообразие удовлетворяющих условиям Сохоцкого — Племеля пар функций зависит от одной произвольной вещественной функции.

Отметим, что внутренние граничные условия

выгодно отличаются от равносильной им подсистемы (28) тем, что в их структуру входит оператор граничного проектирования. Благодаря этому обстоятельству задача

устойчива в смысле теоремы 6 относительно возмущения правой части . В общем случае при вычеркивании части уравнений из числа составляющих систему может получиться подсистема, алгебраически равносильная исходной, но уже не обладающая свойством устойчивости.

Можно показать, что в нашем примере (25), (26) вместо

удобнее использовать не подсистему (28), а подсистему (29), которая устойчива и в отличие от подсистемы (28) состоит из независимых уравнений — ее ранг равен числу составляющих ее уравнений.

Итак, в рассматриваемом примере аналогия между методом внутренних граничных условий и методом сингулярных интегральных уравнений, аналогичных условию Сохоцкого — Племеля, не является полной.

Тем более, нет полной аналогии с классическим методом интегральных уравнений, в котором искомой функцией является не само решение исходной задачи (21), (22) на границе, а некоторая вспомогательная плотность потенциала простого или двойного слоя.

В заключение заметим, что мы употребляем выражение «метод сингулярных интегральных уравнений», поскольку условие Сохоцкого — Племеля содержит сингулярный интеграл. В примере этого пункта условие (26) содержит сходящиеся несобственные интегралы.