3. Условие на линии разрыва решения.

Пусть внутри области, где отыскивается решение, имеется линия на которой обобщенное решение терпит разрыв первого рода. Пусть при приближении к этой линии слева или справа получаем на ней соответственно

Рис. 32.

Оказывается, что значения и скорость движения точки разрыва не могут быть произвольны: они связаны между собой некоторым соотношением.

Пусть L является линией разрыва (рис. 32). Интеграл по контуру ABCDA, как и по любому другому контуру, обращается в нуль. Когда отрезки ВС и DA стягиваются к точкам Е и F соответственно, интегралы по ним обращаются в нуль и получается равенство

или

где — скачок величины z на линии разрыва, произвольный участок этой линии

Ввиду произвольности участка L в каждой точке линии L должна обращаться в нуль подынтегральная функция:

Отсюда

так что на линии разрыва выполнено условие

Если бы мы записали уравнение в другой дивергентной форме:

то пришли бы аналогичным путем к другому интегральному соотношению:

и к другому условию на линии разрыва:

Наклон (9) линии разрыва (или скорость х ударной волны) не совпадает с наклоном (6), отвечающим первой дивергентной записи (4). Отсюда видно, что понятие обобщенного решения зависит от того, какой именно интегральный закон сохранения отражается заданным дифференциальным уравнением (1). В задачах математической физики интегральные законы сохранения имеют вполне определенный физический смысл.

На гладких функциях и все пять форм записи

равносильны между собой.

В дальнейшем, рассматривая задачу Коши (1), мы будем иметь в виду выполнение интегрального закона сохранения (5) и вытекающего из него условия (6) на разрыве.

4. Распад произвольного разрыва. Пусть заданы разрывные начальные данные

Построенное по этим начальным данным решение изображено на рис. 33.

Тангенс угла наклона линии разрыва является средним арифметическим из тангенсов углов наклона характеристик по обе стороны от нее.

Зададим теперь в начальных условиях другой разрыв:

Из рис. 34 видно, что возможны два способа построения решения. В первом способе мы получаем непрерывное решение, а во втором — разрывное при .

Рис. 33.

Следует предпочесть непрерывное решение. В пользу этого говорит следующее рассуждение. Если несколько изменить начальные данные, задав их формулой

то решение и определится однозначно. Оно изображено на рис. 35. При стремлении к нулю это решение переходит в непрерывное решение, изображенное на рис. 34, а.

Рис. 34.

Запрет решения, изображенного на рис. 34, б, по причине его неустойчивости относительно возмущения начальных данных аналогичен запрету ударных волн разрежения при математическом описании течения идеального газа.